指数関数${y}=\mathrm e^{{x}}$の場合は、微分しても微分しても$\mathrm e^{{x}}$のままであり、${x}=0$での値は1だから、${\mathrm d ^n\over \mathrm dx^n}f(x_0)$のすべてに1を代入して、
\begin{equation} \mathrm e^{{x}}=\sum_{n=0}^\infty {1\over n!}{x}^n =1+x+{x^2\over 2!}+{x^3\over 3!}+{x^4\over 4!}+{x^5\over 5!}+\cdots \end{equation}というテイラー展開になる（この式は前に「微分しても変わらない関数」を作ることで求めた）。
指数関数の場合、$a_n={1\over n!}$だから、収束半径の式の$\left|{a_n\over a_{n+1}}\right|$は$n+1$となり、これは$n\to\infty$で$\infty$だから指数関数のテイラー展開の収束半径は$\infty$ということになる。
指数関数のテイラー展開をグラフで表現すると次のようになる。