第13講 ミクロな世界と量子力学
原子の大きさはどうやってわかる
水18 gの中にはだいたい$6\times10^{23}$個の水分子が入っています高校の化学で「モル」とか「アボガドロ数」などを習った人は、この数字を覚えているかと思います。。18 gの水は18 ccですから、1cc（一辺1 cmの立方体）の中に${6\over 18}\times10^{23}$個の水分子が入っていることになります。これはざっと1 cmの一辺に$3.2\times 10^7$個の水が並んでいる計算になり、水分子一個分の幅は$3.1\times 10^{-8}$ cm、つまり$3.1\times10^{-10}$ m程度になります。というわけで、原子の大きさはだいたい$10^{-10}$ m（100億分の1メートル）です。
この大きさはどうやったらわかるでしょうか？
一つの方法は、水を電気分解する時に流さなくてはいけない電気の量です。電子2個で水分子一個が分解できるので、電子何個使って水18gが電気分解できたかを調べられます。電子が一個が$1.6\times10^{-19}$ Cの電荷を持つこれはまた別の「ミリカンの実験」で測定されています。ので、1 Aの電流は1秒で${1\over 1.6\times10^{-19}}$個の電子を運んできます。以上から、水18 gがどれだけの水分子を含んでいるかわかるというわけです。
もう一つの方法はブラウン運動です。ブラウン運動は最初は花粉の中から出た微粒子ときどき「花粉がブラウン運動する」と間違って書いてある本がありますが、花粉は水分子に比べて大きすぎてさすがにブラウン運動しません。が水中でランダムに動きまわるところから発見されましたが、小さな粒なら常に起こります。
アインシュタインは特殊相対性理論を完成させたのと同じ年の1905年この1905年に、同時に「光量子仮説」（光は粒子ではないか？という仮説）の論文も出している。に「ブラウン運動は、回りの水分子の不規則な衝突で起こる」と説明し、「ブラウン運動から分子の大きさを推定できる」という論文を書いています。ペランという人が実際にブラウン運動の観測から水分子のサイズを決定しました。
分子の大きさは、実は空の青さからもわかります。空の青さは「空気分子が波長の短い（比較的、青い）光をよく散乱する」からです。小さい分子による光の散乱の様子を研究したレイリーは、散乱の度合いが光の波長の４乗に反比例することを計算により示しています。この散乱の具合から、だいたいの分子のサイズを決めることができます。光の波長は約$4\times 10^{-7}$から$7\times10^{-7}$ mで、原子のサイズより100倍ぐらい大きくなります（レイリーの式はまさにそういう場合に使える式なのでした）。
分子の大きさは以上のようにいろいろな方法で測定できて、しかもそれらがちゃんと一致することから、「物質は分子でできている」ということが確かなものになったわけです。
光は波か粒子か
光は波であるか粒子であるか、というのはニュートンやホイヘンスの時代でも論争になった謎の一つでしたが、波と考えるのが妥当であろう、というのが20世紀までの考え方でした。
そのように考えられた理由の一つが、上の図にしめした複スリットの実験です。「光をこのスリットにあてると、上のスリットを通ってきた光と下のスリットを通ってきた光が干渉して、スクリーンに縞ができる」と考えます。つまり図の「明」の位置では波である光の山と山がぶつかりあい、明るい光になり、図の「暗」の位置では波の山と谷がぶつかりあって暗い光になる、と考えられたわけです。このような現象は波でなくては起らないはずです。
回折格子はその辺には売ってませんが、CDの反射光でも同様の現象が起きます。
ところが20世紀になると、光が粒子でもある証拠が発見され始めました。光のエネルギーを測定してみると、常に(プランク定数)×(振動数)という単位の整数倍である、ということがわかったのです。つまり光は波であると同時に光子という粒子でもあり、その光子一個のエネルギーが(プランク定数)×(振動数)であること光子一個の運動量が（プランク定数）÷（波長）であることも。がわかってきました（後で同じ性質が光以外の物質にもあることがわかります）。
水が分けていくと最後に水分子${\rm H}_2{\rm O}$になりそれ以上分けられなくなるように、光にも「一粒」があることがわかったのです。この「一粒の光」を「光子（photon）」と呼びます。
光がやってくるということは実際には光子がやってくる、ということです。つまり、上の図のような実験でできている明暗の縞は、実は左の図のように、光子の当たる場所と当たらない場所ができている、ということになります。粒のようなものがやってくるのだと考えると、「光子は２箇所を同時に通らないはずなのに、なんで波と同じように干渉するの？」という疑問が生まれます。
この疑問について考える前に、もう一つの衝撃的なお話を次の節でしましょう。
全ては波動の性質を持つ
「衝撃的なお話」というのは、実は最初に話した「水分子」などの粒子も波動的性質を持つ、ということです。波だとばかり思っていた光が波動と粒子の二つの性質を持っていたように、粒子だとばかり思っていた「電子・陽子・中性子」などの素粒子現代物理では陽子と中性子は「素粒子」ではありません。クォークという素粒子がくっついてできたものです。が、やはり波の性質を持っている。これがわかるまでにはまた長〜〜〜い話がありますが、ここではその長い話はすっとばして、電子が波の性質を持っていることを明確に示す実験について述べます。
実験の概要は次の図のようなもので、電子を二通りの経路（上を通るか下を通るか）で的（電子の検出器）にあてます。古典力学的（ここでは、電子は粒だという考え）だと発生しないはずの干渉縞が、ちゃんと観測されます。
この実験の素晴らしいところは「電子が一個一個やってくる」にもかかわらず最終結果を見ると干渉縞ができて、「波の性質がある」ということがわかるようになっているということです。では、一個しかないはずの電子がなぜ干渉するのか？？---ここで電子は（光もそうなのですが）途中を通っている間は「波」として「山と谷が打ち消し合い、山と山なら強め合う」という性質を持って通過しつつ、検出器にあたったところでは「一粒の電子」として検出されるということになります。
ここで、電子がある形の波になってやってくるような実験を行ったとします（図に書いた「100個用意したこの状態」）。この状態に対して「電子は左側にいるか、それとも右側にいるか」をなんらかの方法で検出した、とします。検出の結果どっちかで電子が見つかるわけですが、図にあるように波は左側の方に大きな山があるので、左で見つかる数が多くなります。
この時電子の波（「波動関数」と呼びます）は、（古典力学的常識からすれば）非常に不思議なことですが、図に示したように、「片方にだけ粒子の存在確率があるような波動関数」へと変化します。観測前は二つの可能性があったのに、観測が片方の可能性を消してしまうことになります。この変化を「波動関数の収縮」と呼びます。
どうして原子は無個性か
量子力学が謎だ謎だと言ってきたので、ここで逆に「量子力学を知ったおかげで解けた謎」を話しましょう。右の図のような原子のイメージを見ると、「{\bf 太陽系に似てますね}」という感想が出てくることがけっこうある長岡模型と呼ばれる原子のモデルは、太陽系よりも土星の輪をその発想の原点にしている。。だが、原子と太陽系には、「サイズが違う」「働いている力が違う」という当たり前の違いの他に、大きな本質的違いがある。それは、太陽系は同じものは一つしかないが原子は同じものがたくさんあること---考えてみると不思議なことです。
量子力学ができる前から、物理学者は原子が出す光が特定のスペクトル（色）を持っていることに気づいていました。後でわかったことですが、原子が光を出すのは、原子の回りを回っている電子が（外から与えられた熱などにより）上の「軌道」に移り、また下に落ちてくるときに、上の軌道と下の軌道とエネルギー差の分が光になるからでした。水素なら水素の、酸素なら酸素の、特定の光を出すことが知られていますトンネルなどに使われるオレンジ色のナトリウムランプの光は名前の通り、ナトリウム原子の出す光。また花火の色は中に入れてある火薬の材料で決まる。。ではなぜ各々の原子は「同じ色の光」を出すのでしょう？？
「恒星のまわりに惑星が回っている（恒星系）」という状況では、恒星系1個1個にはそれぞれに個性があり、全く同じ物は一つとしてありません。ところが水素原子は全部全く同じです（通常より少し小さい水素なんてないし、大きさ3割増の酸素もない）。だから原子が同じなら同じ光を出す。この謎は量子力学から判明したのです。それは右の図のように、水素原子の周りを回る電子（実は波！）がちゃんと一周回るとつながらなくてはいけない、という条件でした。
こうなるためには電子はどこでもいいから好きなところを回っていればよいわけではなく、決まった場所を回らなくてはいけないなります$n=1$が一番小さい円を描く時ですが、多くの水素原子はこの状況にあります。前ページの図に書いた「原子核の半径は原子半径の１万分の１くらいしかない」という謎（どうしてもっと近くを回らないの？？）もこれで解けます。。電子が波であることからくるこの制限がなかったら、プラス電気を持った原子核とマイナス電気を持った電子は引っ張り合っていますから、エネルギーを放出することでどんどん「低い軌道」へ落ちていくことができます。そうすると原子は今のサイズではいられないことになります。原子がちゃんと存在できるのは、量子力学的性質電子が波であることのおかげです。
量子力学の「常識外」な点
我々はこういう「波」の波長（それは原子サイズぐらいになる）よりは遥かに大きい世界に生きています。そのため、「波の性質」というものを感じることがほとんどありません。実は我々が「電子が運動している」と思っているものは（大雑把な話としては）右の図のような「波の塊の移動」ですそういう意味では、前のページに書いた「原子核の周りを回る電子」の図も単なる「概念図」であって、実際には電子は波として存在しています。。「そんな馬鹿な」と思うかもしれませんが、それは我々がこの波の波長や、波の広がりに比べてあまりに大きな世界にいるからです。最初に示したように、原子や分子のサイズは人間にはあまりに小さいのです。
こうして実際には波であるために、量子力学で表現されるこの世界では「物体の位置と運動量は同時に決まらない」という（これも一般常識からすると）不思議な性質を持ちます。これは「位置を定める」ためには「コンパクトにまとまった狭い波」が必要ですが、それは必然的に「波長の短い波（つまり運動量が大きい）」をたくさん足さなくてはならないというところから来ています不確定性関係または不確定性原理と呼ばれます。。
これも常識外ではありますが、もっと常識外なのはすでに説明した「波動関数の収縮」です。上で「70％の確率で左、30％の確率で右」のように観測結果が変わる、ということを言いましたが、このどちらになるかを予言する方法はありません波動関数の収縮は元に戻らないので、これも一つの「時間の矢」になっています。。古典力学では、最初の状態が完全にわかっていればもっとも「完全にわかる」ってことは実際には有り得ないのではあるが…。未来もどうなるかは確実にわかります。しかし量子力学では「波動関数がどっちに収縮するか」というポイントは実際に収縮するまでは（確率しか）わかりません。物理が進んだことが逆に（古典力学では原理的にはできることになっていた）「未来を完全に予測する」ことが不可能であることを示してしまったわけです。