初等量子力学講義録2005年度第４回

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前回の続きから。

　つまり、圧力がエネルギー密度の¹/₃であるということは光(電磁波)に関しては実験事実でもある。このことから光子の運動量に関して何がわかるであろうか。以下では、箱にN個の粒子入れられて、それぞれE_iのエネルギーと→p_iの運動量を持って飛び回っていると考えた時、箱にはどの程度の力が働くかを計算しよう(i=1,2,…,Nのように、粒子に番号がふってあるものとする)。→p_iの運動量を持った粒子がx方向に垂直な壁にぶつかってはねかえるとする。その時、→p_iのx成分(p_ix)の２倍の力積を壁に与える。この粒子はx方向に2L走るごとにこの壁に衝突する。今考えているのは光なので速さはcであるが、x方向の速度成分はc×[(p_ix)/(|→p_i|)]となる。ゆえに、１秒の間に

c×

p_ix

→
p

÷2L = c×

p_ix

2L|

→
p

(3.8)

回だけ衝突することになり、１秒にあたえる力積(つまり力)はc×[((p_ix)²)/(L|→p_i|)]となる。N個の光子の出すこの力の和を計算したい。ここでまず、運動量の大きさ|→p_i|が等しい光子の集団を考え、その集団に関する和を取ることにしよう(このように運動量の大きさを制限しても、なおじゅうぶんたくさんの光子がいるものとする)。

　もしじゅうぶんたくさんの光子がいなかったらどうなるんですか？
　その場合はこの式使えませんが、そんなふうに光子が少ないということは現実的にはないし、もしそういう状況を考えたとすると、力は「圧力」と呼べるような連続的にかかるものではなくなってしまいます。

　この範囲で和をとると、力は、

∑
|→p_i|=P

c×

(p_ix)²

→
p

∑
|→p_i|=P

c×(p_ix)²

(3.9)

となる。ただし、∑_{|→p_i|=P}は「運動量の大きさがPであるような光子を選んで和を取りなさい」という意味である。この範囲で和をとっているので、¹/_Pが和記号の外に出せる。

→
p

|² = (p_x)²+(p_y)²+(p_z)²

(3.10)

であるが、等方性から、充分たくさんの光子で和をとれば

∑
|→p_i|=P

(p_x,i)² =

∑
|→p_i|=P

(p_y,i)²=

∑
|→p_i|=P

(p_z,i)²

(3.11)

と考えてよいだろうから、

∑
|→p_i|=P

(p_ix)²=

∑
|→p_i|=P

→
p

|² =

∑
|→p_i|=P

P²

(3.12)

となる。よってこの範囲で力の和は[(c)/(3L)]∑_{|→p_i|=P}Pとなる。運動量の大きさPはいろんな値をとれるが、どの値でもこの式が成立するので、N個全体が壁に及ぼす力は

∑
i

→
p

(3.13)

となる。圧力はこれをL²で割ったものであり、その圧力がエネルギー密度の ¹/₃すなわち、[1/(3L³)]∑_i E_iに等しいのだから、

3L³

∑
i

→
p

| =

3L³

∑
i

E_i

(3.14)

である。これから、c|→p_i| = E_iと考えられる。つまり、運動量の大きさ×cがエネルギーである。

　以上から、光子一個の持つ運動量は[(hν)/(c)]=[h/λ]と考えていいだろう。

　こういう話をすると、「なんだ、結局実験に合うように運動量決めたんですね」という反応が返ってくることがあるので、以下のことを強調しておく。
　まず、「実験に合うように」というのは、そんなに簡単なことではない。いい加減に理論を作ると、たちまち矛盾する。
　もう一つ。一つの実験に合うだけならなんとかなるかもしれないが、問題は他の実験でも同じ理論式が使えるかどうかである。光子の運動量の場合、次の節でやるコンプトン効果でも同じ式が使える。実験に合うように式を作ったら、他の実験でもちゃんとその式が合う。これが大事である。特に今の実験は箱の中にたくさんの光子を入れた話、下のコンプトン効果は一個の光子が電子にぶつかる話。全然違う状況で、どちらでも同じ式が使えるということが大事。こうでなくては、「この式は正しい」と世間を納得させることはできない。

3.3 コンプトン効果

光の粒子性、特にその運動量が[(h)/λ]であることをもっと直接的に示す実験がある。この実験では電子にX線を照射し、はねかえってきたX線の波長を測定する。すると、X線の波長は少し長くなっている。この現象自体はコンプトンの1923年の実験以前に知られていた。コンプトンは入射X線の波長λとはねかえってくるX 線の波長λ′、そしてX線が散乱される角度θの間に、

λ′－ λ = 0.024×10^－10(1－cosθ) [m]

(3.15)

という関係があることを実験でしめした(この現象をコンプトン効果という)。この関係式が出てくるのは光が光子であり、エネルギーhν、運動量[h/λ]であるおかげであることを以下で示そう。

　静止していた電子(質量m)に振動数νの光(実験ではＸ線)があたり、これが振動数ν′で、元の方向と角度θだけ違う角度に散乱されたとしよう。電子はこの時、この光と同一平面内で、最初の光の進行方向に対し角度φ、速さv(光速度cに比べ小さいとする)で飛び出すとする。

　運動量保存則をベクトル図で表わすと右の図のようになる。[h/λ]という運動量を持った光が電子に運動量mvを与えて自身の運動量が[h/λ′]に変化している。このベクトル図で表される関係が常に成立するということは、光が[h/λ]という運動量をもった一つの塊として電子にぶつかっていると考えなくては説明がつかない。

　エネルギーhνを持った光が電子に運動エネルギー¹/₂mv²をあたえ、自身のエネルギーがhν′に減ったと考えれば、エネルギー保存則は

hν = hν′+

mv²

(3.16)

である。一方、運動量保存則をしめす三角形の図に対して余弦定理を使うと、

(mv)² =

(

)

(

λ′

)

－2

λ′

cosθ

(3.17)

という式が出る。この二つの式からvを消去する。(3.16)からv² = (hν－hν′)×2/_mとして(3.17)に代入し、

2m(hν－hν′) =

(

)

(

λ′

)

－2

λ′

cosθ

2mhc

(

－

λ′

)

(

)

(

λ′

)

－2

λ′

cosθ

2mc

(

－

λ′

)

(

)

(

λ′

)

－

λλ′

cosθ

2mc

(λ′－λ) =

λ′

－2cosθ

λ′－λ =

2mc

(

λ′

－2cosθ

)

(3.18)

（テキストでは最後の式の右辺の分母２が落ちていたが、それは誤り）
となる。２行目ではν = [(c)/λ],ν′=[(c)/λ′]を使った。ここで、実際にコンプトン効果で起こる波長の変化は小さいので、λ′=λ+∆λとして、∆λの１時までで近似する。

λ′

= 1+

∆λ′

λ′

∆λ

= 1－

∆λ

(

∆λ

)

－ …

(3.19)

と展開できるので、この式の右辺は([∆λ/λ])²以上のオーダーを無視すれば[(h)/(mc)](2－2cosθ)となり、まとめると、

λ′－λ ≅

(1－cosθ)

(3.20)

(テキストで上の式の右辺に2があったのは誤り）

となる。この式はコンプトンによる実験式(3.15)と数値的にも一致する²¹。

　コンプトン効果は光子と電子の衝突という物理現象として矛盾なく記述される。古典的に考えれば(運動量が[h/λ]という塊であることが古典的には出てこないので)この結果は説明できない。以上のようないろんなことから、光の粒子性は疑いのないものになったと言える。

　今日の授業はだいたいここまで。次の節は次の章へのつなぎです。来週もこのあたりの話はしますが、一応今回ここまで載せておきます。

3.4 粒子性と波動性の二重性

　この章では、光を粒子と考えなくては都合の悪いことを並べ立ててきた。しかし一方、光を波と考えなくては都合の悪いこともたくさんある(前に述べたヤングの実験などの干渉現象が代表的なもの)。このような性質を「光は粒子性と波動性を持つ」と言う。言うのはやさしいが、この二重性の意味するところは何なのか。

　アインシュタインは光子がたくさん存在して光子と光子が相互作用することで干渉縞が発生するというモデルを考えて波動性と粒子性を両立させることを考えたが、1909年にテイラーが非常に弱い光²²でヤングの実験を行って、光子が１度に１個しかこないような状態でも干渉縞が出現することを実験で示したので、この考え方は成立しない。

　当時の物理学者ボルンは「月・水・金は光を波動であると考え、火・木・土は光を粒子と考える」などとふざけているが、量子力学が完全に確立されるまでの間は「ある時は粒子と考え、ある時は波動と考える」というよく言えば臨機応変、悪く言えばその場しのぎの方法がとられてきた。問題はどんな「ある時」に波動性があらわれ、どんな「ある時」には粒子性があらわれるかである。それがわからないとちゃんとした物理にならない。

　しかし、その解決の前に、学ぶべきことがある。この章では「波動だと思っていた光には粒子性がある」ということを学んだが、この逆、すなわち「粒子だと思っていた物質(電子など)にも波動性がある」ということを知らねばならない。これが次章のテーマである。

　ここまで、1900年のプランクの発見から1923年のコンプトン効果の実験まで、「光の粒子性」の発見について述べてきた。「光の粒子性」の発見と「物質の波動性」の発見は同時に進行したので、次の章ではボーアが原子模型を発表した1913年まで、いったん時代を戻すことにする。

3.5 演習問題

[演習問題3-1] は前回の最後にある。

[演習問題3-2] この章でやったのとは別の計算で光の圧力がエネルギー密度の¹/₃であることを計算してみよう。

今一辺Lの立方体の箱の中に光子が入れられているとする。このうち一個の光子に着目し、波だと考えた時のx,y,z方向の波数を[(n_xπ)/(L)],[(n_yπ)/(L)],[(n_zπ)/(L)]とする。箱のx方向の長さをゆっくりとL+∆L(∆Lは微小)まで伸ばす。この時、中に入っている波のn_x,n_y,n_zが変化しなかったとする(箱が延びるにしたがって波長も延びたことになる)。この時光子のエネルギーの減少を計算し、その減少分は光子が箱の壁を押す仕事に等しいと考えることで、光子が壁におよぼしていた力を求めよ。光子がたくさんいろんな方向に動き回っていたと考えて平均をとって、圧力がエネルギー密度の¹/₃であることを示せ。

[演習問題3-3] 通常の物質であればp=mv,E=¹/₂mv²である。気体を箱につめた場合、圧力とエネルギー密度の関係はどうなるか？

光子の場合とどこが変わってくるかを注意しつつ計算してみよ。

[演習問題3-4]

小球と小球の衝突の場合で運動エネルギーと運動量の保存則を式にしてみよう。

静止した質量mの小球にもう一つの小球(質量は同じくmとする)がぶつかったとすると、左の図のようになる。

この場合についてエネルギー保存則を式で表せ。
運動量保存則を数式とベクトル図の両方を使って表せ。
衝突後の二つの小球の運動方向が垂直であることをベクトル図を使って説明せよ。

[演習問題3-5] 光を波動と見れば、コンプトン効果による振動数変化をドップラー効果と考えることができる。3.3節であつかった現象を、「静止している電子に振動数νの光があたり、電子はそのエネルギーを吸収したのち、速さvで動きながら振動数νの光を出した」という現象だと解釈して、この光を外部から観測した場合の振動数ν′を求める式を作れ。

[演習問題3-6] 3.3節の三角形の図(つまり運動量保存則)とエネルギー保存則の中に、古典的なドップラー効果の式(3-5の答)が含まれていることを示せ。つまり、運動量保存則とエネルギー保存則から(3-5)の答を導け(v²はc²に比べて小さいとする近似を使え)。

ヒント：ドップラー効果の式に含まれる角度を使う余弦定理の式をまず作る。

ヒントその２：ドップラー効果の式にはmが含まれていないから、これを消去する。

[演習問題3-7] 3.4節で述べたテイラーの実験では、１秒あたり5×10^－13Jのエネルギーを持つ可視光が使われた。使われた光の振動数が5×10¹⁴Hzだったとして、光子は１秒に何個やってくるか。今来た光子と次に来る光子の間隔は何メートルか。

学生の感想・コメントから

　光は温度が上昇すると、光子の数が増えるのですか？それとも光子一個のエネルギーが増えるのですか？
　まず、光子の数は増えます。さらに、高い振動数を持った（つまり一粒のエネルギーの大きい）光子の割合も増えます。

　光が壁に弾性衝突して跳ね返った時、運動量が変化するということですが、光速ｃも変わるんですか？
　いいえ、運動量や速度は変化しますが、速さは変わりません。速度と速さの違い、わかりますね？？？

　X線を波と考えた時、電場と磁場なんだから、電子は電磁場から力を受けるわけですよね。なぜ光の進行方向に力を受けるのですか？
電磁波から受ける力

　電磁波の電磁場の方向は、進行方向と直角になっています。電磁波がこの面の表から裏へと進行している時、電場と磁場は図のようになっています。今＋電気を持った粒子がここにいたとすると、電場の方向にまず動かされます。電荷が動くということは電流があるのと同じで、電流は磁場からローレンツ力を受けます（フレミング左手の法則）。その力は電磁波の進行方向（表から裏へ）です。

　X線や電子がどの方向に散乱されたかというのは、いったいどうやって調べるのですか？
　コンプトンの最初の実験では、電子の方向は観測してません。X線の検出器の置く場所を変えながら実験して、「この角度に散乱された時は波長はこれだけ」という測定を繰り返してます。

　コンプトン効果の計算でλ'-λを計算しているのに、λ/λ'を１に置いていいのですか？
　テキストをよく読んでもらうとわかりますが、λ/λ' + λ'/λを２に置いています。λ/λ' + λ'/λと２の差は今計算しているものよりも高次の微少量です。

Footnotes:

²¹なお、ここで出てきた[(h)/(mc)]という量を「質量mの粒子のコンプトン波長」と呼ぶ。後で説明するが、これは質量mの粒子が波として存在する時に必然的に持つ広がりの大きさである。

²²この実験では、写真乾板に像が得られるまで２ヶ月かかったと言う。

File translated from T_EX by T_THgold, version 3.63.
On 13 May 2005, 13:17.