量子力学講義録2005年第12回

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15.3 演算子による解法

　すでに述べたように、エネルギー固有値は¹/₂

ωを最低値として、

ωずつ大きくなっていくだろうと推測することができる。そこで以下では、「エネルギー固有値を

ωだけ上昇させる演算子」を作っていくことにする。もしそんな演算子を作ることができれば、その演算子（a^†と名付ける）をどんどんかけていくことで、いろんなエネルギーを持った状態を求めることができる。

エネルギーは演算子Hの固有値であるから、エネルギーEを持つ状態（波動関数をψ_Eと書こう）があったとして、この状態の波動関数にa^†をかけると、エネルギーE+εを持った状態（波動関数をa^† ψ_Eと書こう）になるわけである。εは後で決まる定数である（実は

ω になるということはすでに述べたとおり）。つまり「ψ_EにHをかけると固有値Eだが、a^†をかけてa^† ψ_EにしてからHをかけると固有値はE+εになる」ような演算子を作るわけである。さらに別の言い方をすると「Hをかけてからa^†をかけたのと、a^†をかけてからHをかけたのでは、εだけ固有値が違う」ということになる。これを式で表せば、

H a^† ψ_E － a^† H ψ_E = εa^†ψ_E

(15.29)

である。ゆえに、

Ha^†－a^† H=εa^† すなわち [H,a^†]=εa^†

(15.30)

となるような演算子が作れればよいということになる。

このa^†を「エネルギーをあげる演算子」ということで「上昇演算子」と呼ぶ。上昇演算子をわざわざa^†と†つきで書いているのは、昔から下降演算子（エネルギーを下げる方の演算子）の方をaと書くのが習慣だからである。つまり、上昇演算子と下降演算子は互いにエルミート共役である。

[H,a^†]=εa^†の式の両辺のエルミート共役をとると、[a,H]=εaとなる(交換関係のエルミート共役を取ると順番がひっくりかえることに注意)。これはつまり[H,a]=－εaだということである。つまり、aはエネルギーを－εあげる（ε下げる）演算子である。以上から、a^†が上昇演算子ならばaが下降演算子ならであることがわかった。

a^†を求めるのはそんなに難しくない。まず、

a^† = C(x+ a p)

(15.31)

のようにx,pの一次式で書けることを仮定する(C,aは後で決めるが、複素数の定数)。係数が簡単になるようにここでも無次元化した表記を使うことにして、

a^† = A(ξ+α

∂

∂ξ

)

(15.32)

としよう（A,αもまた、複素数の定数）。今H=－¹/₂[(∂²)/(∂ξ²)]+¹/₂ξ²であるから、交換関係をとってやると、

[H,a^†] =

[

－

∂²

∂ξ²

ξ², ξ+α

∂

∂ξ

]

(15.33)

である。交換関係の後ろのξに関係する部分を計算する。まずξは自分自身とは交換するので、自分自身の自乗とも交換([ξ²,ξ]= 0)し、

[

－

∂²

∂ξ²

ξ², ξ

]

=－

[

∂²

∂ξ²

, ξ

]

(15.34)

となる。次に公式[AB,C]=[A,C]B+A[B,C]を使うと、

－

[

∂²

∂ξ²

, ξ

]

= －

[

∂

∂ξ

,ξ

]

∂

∂ξ

－

∂

∂ξ

[

∂

∂ξ

,ξ

]

(15.35)

であるが、[[∂/∂ξ],ξ]=1であるから、結果は

[

－

∂²

∂ξ²

ξ², ξ

]

=－

∂

∂ξ

(15.36)

である。
　念のためにくどいようだがもう一度書いておくと、こういう計算の時にはさらに後ろに任意の関数 f(ξ)がいると考える。つまり、[[∂/∂ξ],ξ]=1とは

∂

∂ξ

（ξｆ）　－　ξ

∂ｆ

∂ξ

=　　ｆ

ということ。

　同様に、

[

－

∂²

∂ξ²

ξ²,

∂

∂ξ

]

=－ξ

(15.37)

となるので、

[H,a^†] =

[

H,A

(

ξ+α

∂

∂ξ

)

]

= －A

(

∂

∂ξ

+αξ

)

(15.38)

という結果が出る。

　この式の右辺が元の演算子のε 倍だという条件を置くと、－A([∂/∂ξ]+αξ)=εA(ξ+α[∂/∂ξ])から、

－1

εα

(15.39)

－α

(15.40)

という式が出る。

　まず(5.39)に(5.40)を代入すると

1=α²

(15.41)

となり、結果α = ±1とわかる。これを(5.40)に代入して ±1 = εとなるが、εが正の数になる方をとって、α = －1とることにする。結局、

a^† =A

(

ξ－

∂

∂ξ

)

(15.42)

となる（（∂/∂ξ）^†＝ -∂/∂ξに注意）。aの方は

a=A^*

(

ξ+

∂

∂ξ

)

(15.43)

となる。
　テキストではここのAとA*が入れ替わっていた。

　もし、上でεが負になる解をとったとすると、aとa^†が入れ替わるような答えになってしまったことになる。a^†がエネルギーを上昇させる演算子になるようにしたかったのだから、εを正と取ったのは正しかった。

ここでaとa^†の交換関係をとってみると、

[a,a^†] =

AA^*

[

ξ+

∂

∂ξ

,ξ－

∂

∂ξ

]

AA^*

(

[

∂

∂ξ

,ξ

]

－

[

ξ,

∂

∂ξ

]

)

2 AA^*

(15.44)

となる。A=[1/√2]e^iβとすれば右辺は1となって後々楽なので、そうすることにする。Aの位相βは決まらないので、これまた簡単のためβ = 0と選んでおく。aとa^†の交換関係は

[a,a^†]=1

(15.45)

となった。まとめると、

√2

(

ξ+

∂

∂ξ

)

, a^†=

√2

(

ξ－

∂

∂ξ

)

(15.46)

である。これを逆に解くと、

ξ =

√2

(a+a^†),

∂

∂ξ

√2

(a－a^†)

(15.47)

となる。ハミルトニアンにこの式を代入すれば、

H =

－




√2

(a^†－a)







√2

(a+a^†)




－

(a^†－a)+

(a+a^†)²

－

((a^†)²－aa^† －a^† a + a²)+

(a² + aa^† + a^† a+(a^†)²)

(aa^† + a^† a) = a^† a +

(15.48)

となる。最後は交換関係(5.45)からa a^†=a^† a+1となることを使っている。

ここで、次元を復活させよう。a,a^†は無次元のままとする。 ξをxに直すには、長さの次元を持つ量√{[

/mω]}をかければよい。運動量は－i

[∂/∂x] であるから、－i

をかけた後、長さの次元を持つ量√{[((^h/_2p))/mω]}で割ればよい。ゆえに、

√

2mω

(a+a^†), p=i

√

mω

(a^†－a)

(15.49)

である。これからa,a^†を出すと、


√

mω

(

x+i

mω

)

, a^†=


√

mω

(

x－i

mω

)

(15.50)

となる。ハミルトニアンは

H =

(

a^† a +

)

(15.51)

とまとまる（Hはエネルギーの次元を持っているから、

ωをかけてその次元を復活させる）。

この形になると、[H,a^†]=

ωa^†は自明である（[a^† a, a^†]=a^†[a,a^†]=a^†）。

エネルギー固有値には下限がなくてはならない。そうでない(底無し)場合、「物事はエネルギーの低い方に落ちていく」という法則にしたがってどんどんエネルギーが低くなっていってしまう。

最低状態があるとすると、それにaをかけて新しい状態を作ることはできない(もしできたら、その状態は「最低状態よりも低い状態(？)」になってしまう)。そこで、最低状態の波動関数ψ₀は aψ₀=0 をみたすとしよう。

すなわち、

(

ξ+

∂

∂ξ

)

ψ₀=0

(15.52)

である。こうなるような関数は

ψ₀ = e^{－¹/₂ξ²}

(15.53)

である。このψ₀で表される状態を「基底状態」と呼ぶ。

　↑のグラフは基底状態のグラフである。グラフの目盛りは無次元化した座標ξで書かれている。基底状態はエネルギーが¹/₂

ω、無次元化して考えた場合で¹/₂である。位置エネルギーが無次元化して書くと¹/₂ξ²であることを考えると、古典的には－1 < ξ < 1のところまでしか粒子は存在できないはずである（振り子として考えたならば、ξ = ±1が振り子が戻る位置）。波動関数はその外側にも存在する。ただし、これまでの「運動エネルギーが負になる領域」と同様、波動関数の曲がり具合が変わっている（具体的に言うならば、２階微分の符号が違う）。図では水色で「古典的に許される領域」を示した。

　古典的に許されない領域は、トンネル効果の場合と同様、波動関数が急速に減衰していく。このグラフでは許されない領域にもけっこう大きな値で波動関数があるが、実際に古典力学で扱うような問題では、あっというまに減衰が起こる。

　例によってこれらをアニメーションで見るアプレットがあるので見てください。

　基底状態の波動関数にa^†をかけていくことでそれよりも

ωだけエネルギーが高い状態を次々とつくり出していくことができる。左のグラフは基底状態から第３励起状態までの波動関数（の実数部）を表したものである。基底状態から、エネルギーが高くなるごとに（nが増加するごとに）波動関数の波の数が増えていくと同時に、空間的広がりも大きくなっている。

具体的にa^†をかけるという計算を実行すると、

a^† e^{－¹/₂ξ²}

√2ξe^{－¹/₂ξ²}

(15.54)

a^† (√2ξe^{－¹/₂ξ²})

(

ξ－

∂

∂ξ

)

(ξe^{－¹/₂ξ²})

(2ξ²－1)e^{－¹/₂ξ²}

(15.55)

となる。以下同様にエネルギー固有値と固有関数を求めていくことができる。当然、この答はまじめに微分方程式を級数展開を使って解いた結果と一致する。

　空間的広がりが大きくなることは、単振動の振幅が大きくなることに対応する。また、波の数が多くなるということは波長が短くなるということで、平衡点を通過する時の運動エネルギーが大きくなっていることに対応している。

　なお、図に書かれた波動関数はすべて定常状態であって、この状態では古典的な意味での「運動」は見えない。二つ以上のエネルギー固有状態が重ね合わされると、波動関数は定常状態ではなくなり、粒子の存在確率が右へ左へと動く様子が見えてくる。このあたりは壁に閉じこめられた粒子の場合と同じである。

　第１励起状態ではエネルギーが³/₂

ωであり、基底状態の３倍あるので、古典的に存在できる場所も√3倍広がり、－√3 < ξ < √3となる。やはりこの場所で波動関数の２階微分が符号を変えていることが見て取れる。

古典的に許される領域では波動関数はまさに「波」となって振動するように振る舞い、その外では急速に減衰する関数になっているのである。

　基底状態はE=¹/₂

ωだけのエネルギーを持つ。この最低エネルギーのことを「零点振動のエネルギー」と呼ぶ。古典力学的には最低エネルギーとは粒子が原点に静止した状態であり、エネルギーは0である。しかし量子力学的には原点で静止している(つまり運動量も位置も0という値に確定している)ということは有り得ない。これは不確定関係のおかげである。

我々に観測できるのは常にエネルギーの変化量なので、エネルギーの原点はどこに選んでもよい。よって、零点振動のエネルギーを0と置いてもよい。ただしその場合は古典的な調和振動子のエネルギーH=[1/2m]p²+¹/₂mω² x²に比べ、¹/₂

ωだけ小さい量になっている。量子力学ではエネルギーはhνで表せるので、「エネルギーの原点を変えるということは波動関数の振動数を変えることになってしまうが、それはいいのか？」という心配が起きるかもしれないが、量子力学において、エネルギーの原点をE₀ずらすということは波動関数のψ→ e^－[i/

^]E₀tという置き換えに対応する。この変化は（エネルギーの期待値の原点がずれたということ以外には）観測結果に影響を与えない。

ここまで、波動関数の規格化は考えていなかった。基底状態から順に規格化を考えていこう。公式∫_－∞^∞ dx e^－x²=√{π}があるので、基底状態は

ψ₀ = π^¹/₄e^{－¹/₂ξ²}

(15.56)

と規格化される。ただし、この状態が規格化されるのは∫_－∞^∞ dξψ^*(ξ)ψ(ξ) という積分に関してである。積分をxで行うならば、dξ = √{[mω/

]}dxという違いの部分を吸収するために、

ψ₀ =

(

πmω

)

¹/₄

exp[－[mω/(2

)]x²]

(15.57)

としておく必要がある。ξは無次元なので、ψ(ξ)にも次元はない。しかしxは長さの次元を持つので、∫dx ψ^*ψ = 1となるためにはψ(x)は(長さ)^－¹/₂の次元を持たなくてはいけない。(5.56)と(5.57)の違いの因子はちょうど次元の分である。

これでψ₀は規格化されたので、次に第１励起状態(ψ₁=a^†ψ₀)を考えてみる。具体的に積分することでも計算できるが、 a,a^†の交換関係を使った方が簡単である。

⌠
⌡

∞

－∞

dξ(a^† ψ₀)^* a^† ψ₀ =

⌠
⌡

∞

－∞

dξψ₀^* a a^† ψ₀

⌠
⌡

∞

－∞

dξψ₀^* (a^† a +1) ψ₀

⌠
⌡

∞

－∞

dξψ₀^* ψ₀=1

(15.58)

となって、ちょうど規格化されていることがわかる。ここでは、交換関係からaa^† = a^† a+1となることと、aψ₀=0 であることを使っている。

第１励起状態は規格化しなくてもよかったが、第２励起状態から先はそうはいかない。上の計算との大きな差はaψ₀=0であったが aψ₁ ≠ 0だということである。第２励起状態をとりあえずψ₂=(a^†)²ψ₀とおくと、

⌠
⌡

∞

－∞

dξ((a^†)² ψ₀)^* (a^†)² ψ₀ =

⌠
⌡

∞

－∞

dξψ₀^* a a a^† a^† ψ₀

(15.59)

であるから、演算子aaa^† a^†の部分を考えて、「aを右に寄せていく」という計算をする。

aa^†

= a^† a+1

a^† = aa^†

a a^†

= a^† a+1

+ a a^† = aa^† a^† a + 2aa^†

(15.60)

となる。第１項はψ₀にかかると0となり、第２項はψ₁と同じ方法で計算できるが、係数2の分だけ、答えが大きくなり、∫dξψ^*₂ψ₂=2であることがわかる。ゆえに規格化されたψ₂は[1/√2](a^†)² ψ₀であることがわかる。

同様の計算を繰り返すと、規格化された第n励起状態が[1/√[n!]](a^†)ⁿ ψ₀であることが確認できる。よって、ψ_n－1=[1/√[(n－1)!]](a^†)^n－1ψ₀にa^†をかけて√nで割ったものがψ_nである。

ψ_n =

√n

a^† ψ_n－1

(15.61)

[問い15-0] 数学的帰納法を使ってψ_n=[1/√[n!]](a^†)ⁿψ₀が規格化されていることを証明せよ。

n=5までの規格化された波動関数は以下の通り。

ψ₀=

π^¹/₄ e^{－¹/₂ξ²}

(15.62)

ψ₁=

π^¹/₄√2ξe^{－¹/₂ξ²}

(15.63)

ψ₂=

π^¹/₄

√2

(2ξ²－1) e^{－¹/₂ξ²}

(15.64)

ψ₃=

π^¹/₄

√3

(2ξ³－3ξ)e^{－¹/₂ξ²}

(15.65)

ψ₄=

π^¹/₄

2√6

(4ξ⁴－12ξ²+3)e^{－¹/₂ξ²}

(15.66)

ψ₅=

π^¹/₄

__
√15

(4ξ⁵－20ξ³+15ξ) e^{－¹/₂ξ²}

(15.67)

これ以降も同様に計算される。

なお、古典力学的にこの調和振動子を考えると角振動数はωである。量子力学的に考えた時の波動関数の角振動数は(n+¹/₂)ω であり、一致しない。それは当然である。今考えた量子力学的状態は定常状態（エネルギーの固有状態）であって、古典力学的な運動は「定常状態の波動関数」では表せない。古典力学的運動に対応するような状態は複数のエネルギー固有状態の重ね合わせが必要なのである。たとえばn=0の状態（基底状態。角振動数¹/₂ω）とn=1の状態（第１励起状態。角振動数³/₂ω）を重ね合わせれば、その時のxの期待値 < x > は、二つの状態の角振動数の差であるところの³/₂ω－¹/₂ω = ωの角振動数で振動する。

15.4 電磁波のエネルギーがhνであること

最後に量子力学の始まりとなった事実、「光のエネルギーがhνの整数倍」ということを確認しておこう。z方向に進行する電磁波の場合、電場のx成分E_xの充たす方程式は

(

∂²

∂z²

－

c²

∂²

∂t²

)

E_x=0

(15.68)

このE_xをフーリエ変換して

E_x(x,y,z,t) =

(2π)^³/₂

⌠
⌡

dk_x dk_y dk_z E_x(k_x,k_y,k_z,t)e^{i(k_xx+k_yy+k_zz)}

(15.69)

としよう。これを方程式に代入すると、

(

∂²

∂z²

－

c²

∂²

∂t²

)

(

(2π)^³/₂

⌠
⌡

dk_x dk_y dk_z E_x(k_x,k_y,k_z,t)e^{i(k_xx+k_yy+k_zz)}

)

(2π)^³/₂

⌠
⌡

dk_x dk_y dk_z

(

－(k_z)² －

c²

∂²

∂t²

)

E_x(k_x,k_y,k_z,t)e^{i(k_xx+k_yy+k_zz)} =

(15.70)

これはつまり、

(

－(k_z)² －

c²

∂²

∂t²

)

E_x(k_x,k_y,k_z,t)=0

(15.71)

あるいは、

∂²

∂t²

E_x(k_x,k_y,k_z,t) = －c²(k_z)² E_x(k_x,k_y,k_z,t)

(15.72)

ということであり、調和振動子の運動方程式

d²

dt²

x(t) = －ω² x(t)

(15.73)

と比べると、ω = ck_zとすれば、E_x(k_x,k_y,k_z,t) がx(t)に対応していることになる。つまり、電場をフーリエ展開した各成分が一個一個、調和振動子に対応していることになるのである。

粒子の量子力学で「座標x、運動量pを演算子と考える」という方法でシュレーディンガー方程式を作ったように、電磁場にたいしても「電場→E、磁場→Hを演算子と考える」（実際には電場や磁場より、ベクトルポテンシャルAと静電ポテンシャルφを基本に考えることが多い。（これはもちろん、量子化する場合のこと））という方法で「電磁場の量子論」を作ることができるが、上に述べたように方程式が同じ形をしているので、結果も同様になる。ただ電磁場の方が(k_x,k_y,k_z) の関数である分だけ「数が多い」だけのことである。

光のエネルギーが

ωを単位として量子化されたのは、光(電磁場)が無限個の調和振動子のあつまりでできているからであると考えることができる。光に限らず、電子などその他の物質についても、空間に分布した物質場を調和振動子の集まりと考えて量子化することができる。これを「量子場の理論」と呼び、現代の素粒子論、物性理論などの基礎となる考え方である。

15.5 演習問題

[演習問題15-1] 調和振動子の二つのエネルギー固有状態の重ね合わせψ = C_m ψ_m(ξ,t)+C_nψ_n(ξ, t)を考えよう（|C_m|²+|C_n|²=1とする）。

ψ_k(ξ,t) = φ_k(ξ)e^{－i(k+¹/₂)ωt}

(15.74)

と書けること、

⌠
⌡

dξφ_m^*(ξ) φ_n(ξ)=δ_mn

(15.75)

という直交関係が成立することを使って、 < ξ > を計算せよ。

[演習問題15-2] エルミート多項式は

exp(2ξt－t²) =

∞
∑
n=0

H_n(ξ)tⁿ

(15.76)

という式を満たす。左辺の関数をtの関数としてみてテイラー展開した時のn 次の係数がH_n(ξ)だということになる。この式から、

H_n(ξ) = (－1)ⁿexp(ξ²)

∂ⁿ

∂ξⁿ

( exp(－ξ²))

(15.77)

を導け。

[演習問題15-3] エルミート多項式の間に、以下の関係式が成立することを証明せよ。

[d/dξ]H_n(ξ) = 2nH_n－1(ξ)
H_n+1(ξ)=2ξH_n(ξ)－2nH_n－1(ξ)

[演習問題15-4] 調和振動子の第n励起状態の場合で運動エネルギーの期待値と位置エネルギーの期待値を計算せよ。

学生の感想・コメントから

量子力学演習では級数展開を使って解いたが、演算子の方が簡単だった（数人）。
　計算は演算子法の方が楽です。ただ、演算子法はいつでもできるわけではないので、問題によってはどうしても級数展開を使わなくてはいけなくなります。

　他に演算子法を使って解けるのはどんなものがあるんですか？
　すぐ後でやる角運動量なんかでも使えます。

　他のハミルトニアンの時は、また上昇演算子を作り直すのですか？
　そうです。今日やったのは調和振動子専用です。

　波を重ね合わせることで古典的な振り子の動きが見えるというのは量子力学らしい。
　いつも古典力学的に見ている振動は、実はたくさんの量子力学的状態の重ね合わせでできているのです。

　運動エネルギーがマイナスになっている領域が大事になるような物理現象はありますか？？
　うーん、トンネル効果のような現象ですね。調和振動子的なポテンシャルが周期的に繰り返されているような時、ポテンシャルの極小値からとなりの極小値へと飛び移るような現象が起こったりします。

　波動関数のグラフで、振動してないように見える点では、虚数部分は振動しているんですか？
　いいえ、定常波の節のようなもので、振動していない点が何カ所かあります。

　波動関数で波の塊があると、粒子はそのどこかにいるのですか？
　います。観測したらその辺りで見つかります。観測しない間は、全体に広がって存在してます。

　基底状態でも、振動は起こっているんですか？
　振動にも（１）ψの振動と、（２）期待値<x>の振動があります。基底状態では、ψは振動していますが、<x>は振動していません。

　古典的な振動はエネルギー固有値の異なる波動関数の足しあわせたものだそうですが、固有状態に対応する波動関数は存在しないんですか？
　低い温度（低いエネルギー）でなら、実現します。日常レベルの話では、ある程度の幅のエネルギーを持った状態の重ね合わせが実現してます。

　グラフの運動の振り子運動の話は、群速度と位相速度の関係と同じと考えていいのですか？
　はい。その通り。同じ考え方です。

　演算子での解法も難しかったです。
　大学3年で、もう大学での勉強も大詰めですから、難しい話が出てくるのも当然です。張り合いをもってがんばりましょう。

　下降演算子をどんどんかけていくとエネルギーはどんどんマイナスになりますか？
　いいえ。上でも説明してますが、基底状態に下降演算子かけると波動関数自体が０になります。