相対論講義録2005年第11回

　←第10回へ　「相対論」講義録の目次に戻る　第12回へ→

8.2 行列およびテンソル式で書くローレンツ変換

　座標変換を

(

ct′

x′

y′

z′

)

(

α⁰₀

α⁰₁

α⁰₂

α⁰₃

α¹₀

α¹₁

α¹₂

α¹₃

α²₀

α²₁

α²₂

α²₃

α³₀

α³₁

α³₂

α³₃

)

(

)

(8.9)

と書いて、α^μ_ν(μ,νは0,1,2,3を取る)の満たすべき条件を考えていこう。

　短く書くならば、

(x′)^μ=α^μ_νx^ν

(8.10)

である（アインシュタインの規約をつかった）。このように足し上げられている（つまりほんとうは∑_μがあるのに省略されている）添字は「つぶされている添字」と言ったり「ダミーの添字」と呼んだりする。

　なぜ「ダミー」などと、一人前の添字扱いしてもらえないかというと、これは A₀ B⁰+A₁ B¹+A₂ B²+A₃ B³ と書くのが面倒なのでA_μ B^μと書いているだけであって、μという添字はあってなきがごときものだからである。またこれを「つぶれている」と表現するにも理由があるが、それは後で述べる。

　このようにダミーの添字はあってなきものがごとしなので、どんな文字を使ってもよい。

(x′)^μ=α^μ_νx^νと書いても、
(x′)^μ=α^μ_ρx^ρと書いても、

(x′)^μ=α^μ_まx^ま
と書いても、式の内容は同じである。

　前章で求めた座標変換の場合、

(

α⁰₀

α⁰₁

α⁰₂

α⁰₃

α¹₀

α¹₁

α¹₂

α¹₃

α²₀

α²₁

α²₂

α²₃

α³₀

α³₁

α³₂

α³₃

)

(

－γβ

)

(8.11)

である。例によって、β = ^v/_c,γ = [1/ sqrt(1-β^2)

]という記号を使った。

要請1.の条件は

η_μνx^μ x^ν=0の時、 η_μν(x′)^μ (x′)^ν = η_μνα^μ_μ′ x^μ′ α^ν_ν′x^ν′ = 0

(8.12)

と書くことができる。ただし、

η_μν =

(

－1

)

(8.13)

である。

　ここで具体的な例についてη_μ′ν′α^μ′_μα^ν′_μ を計算してみよう。そのため、これを行列の計算に書き直す。２行２列の行列の計算が

(

A¹₁

A¹₂

A²₁

A²₂

)

(

B¹₁

B¹₂

B²₁

B²₂

)

(

A¹₁B¹₁+ A¹₂B²₁

A¹₁B¹₂+ A¹₂B²₂

A²₁B¹₁+ A²₂B²₁

A²₁B¹₂+ A²₂B²₂

)

(8.14)

で表されることと、掛け算の結果を行列

(

C¹₁

C¹₂

C²₁

C²₂

)

で表すならば、この式は

のように書けることを使う。つまり「前の行列の後ろの添字（列の添字）と、後ろの行列の前の添字（行の添字）が同じもの同志を掛け算し、その和を取る」というのが行列の掛け算のルールである。説明は２行２列の行列で行ったが、これらの計算ルール自体は、４行４列の行列であっても同様に使える。

　ここで、η_μ′ν′α^μ′_μα^ν′_μの計算をする。掛け算のルールに合うようにするためには、1番左側にあるαの行列が転置されていること、掛け算の順番がα^T,η,αの順であることに注意せよ。

　そこは行列の計算なのに、αとηの順番を変えていいんですか？
　いいんです。α_μνと書いた時点で、それは行列ではなく「行列の１成分」なんです。つまり単なる一つの数なので、順番変えても問題ありません。行列の順番を変える（AB→BA)という操作は、テンソルの書き方で書くと、Aⁱ_j B^j_k → Bⁱ_j A^j_kと変えることになります。これは全然違う計算になっているので、もちろんやっちゃいけません。
　しかしAⁱ_j B^j_k →B^j_kAⁱ_j なら、これは同じ計算をしていることになるので、問題ありません。

　具体的に求めた(8.11)をこの式に代入してみると、

(

－γβ

)

(

－1

)

(

－γβ

)

(

－γ

－γβ

γβ

)

(

－γβ

)

(

－γ²(1－β²)

γ²(1－β²)

)

(

－1

)

(8.15)

となる。つまりこの場合、η_μνx^μ x^ν=0という条件は必要でなく、一般的に

η_μν = η_μ′ν′α^μ′_μα^ν′_ν

(8.16)

が成立していることがわかる。なお、x,y面内における回転を表す行列は

(

cosθ

sinθ

－sinθ

cosθ

)

(8.17)

であるが、これをα^μ_νとしても(8.16)が成立することは３次元部分に関してはη_μνは単位行列であることを考えれば自明だろう。具体的な計算式を書いておくと、

(

cosθ

－sinθ

sinθ

cosθ

)

(

－1

)

(

cosθ

sinθ

－sinθ

cosθ

)

(

－1

)

(8.18)

である(最初の行列はα^Tなので転置されていることに注意)。

　他の一般の軸に関する回転や反転に関しても同様である。

　(8.16)が成立するα^μ_νで表される座標変換を広い意味でのローレンツ変換と呼ぶ。広い意味でのローレンツ変換には狭い意味でのローレンツ変換の他に、回転や反転、さらにその組み合わせが含まれる³⁰。

　この性質からローレンツ変換を複数個組み合わせた変換もやはりローレンツ変換であることがわかる。すなわち、二つのローレンツ変換が行列α^μ_νと(α′)^μ_νで表されているとすると、この二つの合成変換であるα^μ_ν(α′)^ν_ρもローレンツ変換である。それは具体的に計算すれば

η_μνα^μ_ρ(α′)^ρ_αα^ν_λ(α′)^λ_β = η_ρλ(α′)^ρ_α(α′)^λ_β = η_αβ

(8.19)

となることで証明できる。

【補足】この部分は授業では話さない可能性もあるが、その場合は読んでおいてください。（実際、とばしました）

8.3 一般的方向へのローレンツ変換

ここで、x座標系から見るとx′座標系の原点が３次元速度→v=(v_x,v_y,v_z)を持つような座標変換がどのようなものかを求めておこう。このような座標変換は、

３次元速度(v_x,v_y,v_z)が(v,0,0)（ただし、v=√[((v_x)²+(v_y)²+(v_z)²)]）に見えるような座標Xへの回転。
X座標から見て、原点が速さvでx方向へ移動しているような座標系X′へのローレンツ変換。
X′から、３次元速度(v,0,0)が(v_x,v_y,v_z)に見えるような座標x′への（逆）回転。

という３つの変換の積で考えることができる。

この変換の一つの求め方は、行列を使うことである。X座標系でのX,Y,Z方向の単位ベクトルをそれぞれ→e_X,→e_Y,→e_Zとして、→e_Xのy成分を(→e_X)_yのように表すとすれば、最初の回転は

(

－1

(

→
e

)_x

(

→
e

)_y

(

→
e

)_z

(

→
e

)_x

(

→
e

)_y

(

→
e

)_z

(

→
e

)_x

(

→
e

)_y

(

→
e

)_z

)

(8.20)

と表せる。逆回転を表す行列は

(

－1

(

→
e

)_x

(

→
e

)_x

(

→
e

)_x

(

→
e

)_y

(

→
e

)_y

(

→
e

)_y

(

→
e

)_z

(

→
e

)_z

(

→
e

)_z

)

(8.21)

である。これらの行列の積を作って、ローレンツ変換を求めることができるだろう。

以下ではもう少し楽な方法で考えることにする。 X=→e_X·→x,Y=→e_Y·→x,Z=→e_Z·→xであって、

X′=γ(X－βct), cT′=γ(cT－βX), Y′=Y, Z′=Z

(8.22)

である。よってx→ x′の座標変換は

→
e

→
x

′=γ

(

→
e

→
x

－βct

)

, ct′=γ

(

ct－β

→
e

→
x

)

→
e

→
x

′ =

→
e

→
x

→
e

→
x

′ =

→
e

→
x

(8.23)

を満たすようなものになる。→x′は、x成分、y成分、z成分を足し合わせて

→
x

′ = γ

(

→
e

→
x

－βct

)

→
e

(

→
e

→
x

)

→
e

(

→
e

→
x

)

→
e

(8.24)

となる。ここで、

→
x

(

→
e

→
x

)

→
e

(

→
e

→
x

)

→
e

(

→
e

→
x

)

→
e

(8.25)

という当たり前の式(この式は、ベクトルをX成分、Y成分、Z成分に分けてからもう一度足すと元に戻る、というだけのこと)を使うと、

→
x

′ = γ

(

→
e

→
x

－βct

)

→
e

→
x

－

(

→
e

→
x

)

→
e

(

(γ－1)

→
e

→
x

－βγ ct

)

→
e

→
x

(8.26)

と書ける。→e_Xは速度の方向を向いた単位ベクトルであるから[(→β)/β]と書けるので、

→
x

′ =

(

γ－1

β²

→
β

→
x

－γ ct

)

→
β

→
x

(8.27)

となる。

【補足終わり】

第９章　ミンコフスキー空間

9.1 ４次元の内積

　ここまででわかった大事なことは以下の式にまとめて表現することができる。その式とは

－(ct)² + x² + y² +z² = －(ct′)² + (x′)² + (y′)² +(z′)²

(9.1)

あるいは

η_μνx^μ x^ν = η_μνx^′μ x^′ν

(9.2)

という式である。

　この式で表されていることは、－(ct)² + x² + y² +z²あるいはη_μνx^μ x^νがローレンツ変換の不変量だ（ローレンツ変換で移り変わるどの座標系でも同じ値を持つ）ということである。この式のうち時間成分を除いたx²+y²+z²は３次元空間における距離の自乗であって、これは回転（および反転）という座標変換に対して不変であった。「距離の自乗」の４次元バージョンである－(ct)² + x² + y² +z²は回転・反転だけでなく、ローレンツ変換に対して不変となっている。

　なお、４次元的な距離の自乗を不変にする変換を（３次元的な回転や反転もひっくるめて）「ローレンツ変換」と呼ぶ場合もある。上で求めたような η_μν = η_μ′ν′α^μ′_μα^ν′_ν を満たす行列α^μ_νで表される変換は、すべて広い意味でのローレンツ変換である。

　もともとローレンツ変換を求める時においた要請1.は－(ct)² + x² + y²+z² の値の不変性ではなく、「－(ct)² + x² + y² +z² = 0であれ」という条件の不変性であったが、要請2.(一様性)と要請3.(等方性)のおかげで、－(ct)² + x² + y² +z² そのものが不変でなくてはならなくなったのである。

　下の図は、(x,y)面においてx²+y²=一定となる線と、(x,ct)面において－(ct)²+x²=一定となる線を書いたものである。右の図は「等距離の点」には見えないが、４次元的な意味で「等距離の点」なのである。

　上右の図で、青で書いた矢印はみな同じ時間的距離を持っているのだが、その理由はウラシマ効果を考えるとわかる。たとえばこの時間が１年とする。この座標系で見て静止している人と、動いている人を比べると、動いている人の方が時間が遅く経つ。だから、「当人にとっての１年」は速く動いている人ほど、静止している観測者から見るとより長い時間になるわけである。図で、傾いている線ほど遠くまで伸びているのはそれを意味する。

　この後テキストにはtime-like、space-likeなどの用語の意味を解説する部分があるが、それは来週に回す。

この「４次元的距離」という考え方をすると、ローレンツ短縮やウラシマ効果を別な形で理解することができる。ローレンツ短縮は、「動いている棒は長さが縮む」という現象である。右の図は、棒が静止している座標系で、棒の先端と後端の軌跡を示した。図の水平矢印は、棒と同じ動きをしている人が観測する「棒の長さ」である。

次に、棒に対して動いている人を考える。同時の相対性により、この観測者の同時刻は傾いている。この人が棒の長さを測る時には、自分にとっての同時刻を基準に測るであろうから、「棒の長さ」は図の斜め矢印であると認識する。

水平矢印と斜め矢印は、グラフ上の見た目では斜めの方が長く見えるが、４次元的長さの自乗の定義がx²+y²+z²－(ct)²であることを思い出すと、水平矢印の長さXに対し、斜め矢印は長さが√[(X²－(ct)²)]となる(普通のピタゴラスの定理とは(ct)²の前の符号が変わっていることに注意)。

学生の感想・コメントから

　最後の話で、動いている人の座標系では棒の長さが短くなるとありましたが、逆の立場で見るとどうなりますか。
　では、上の図を棒が動いている場合に書き直してみましょう。すると右の図のようになります。今度は「止まっている人にとっての棒の長さ」は上の図と変わりませんが、「動く人にとっての棒の長さ」は上の図の場合（点線で表しました）より長くなってます。
　つまり、やはり止まっている人（棒に対して動いている人）の方が棒を短いと観測します。

　動いている方が短くなるという話ですが、x軸とx'軸で軸がちがうのにピタゴラスの定理（の４次元バージョン）が使えるのがちょっと納得できませんでした。
　上で赤矢印の長さを計算するのにピタゴラスの定理の４次元バージョンを使ってますが、これはあくまでｘ座標系で計算しています（ｘ’座標系でなら時間成分はないのでピタゴラスの定理は不必要）。つまり、どっちもｘ座標系での計算なのです。

　ミンコフスキーがミンコフスキー空間を考えていたということは、そこに相対論のきざしがあったのかなー、と思った。
　いえ、ミンコフスキーはアインシュタインが相対論を作ったのを見てこのミンコフスキー空間を考え始めたのです。

　(9.1)式と(9.2)式は同じ式なのですか？
　同じ式です。代入してみると全く同じになります。

　４次元って言われると難しく感じます。
　前にも言いましたが、我々が生活しているこの時空こそ４次元なんですから、怖がることは何もありません。

　座標変換のところで、なぜ一様性から１次式になるのかがわかりません。
　第７回、第９回を読みまして見ましょう。

　本によってη_μνの符号が違うのは定義の問題ですか？
　そうです。来週話しますが、spacelike conventionとtimelike conventionの違いです。

　α^μ_μ’＝（α^T)^μ’_μじゃだめなんですか？
　今日はまだちゃんと話してませんが、テンソルの上付き添字と下付き添字にはちゃんと意味の違いがあって、その意味するところは転置とっても変わりませんから、α^μ_μ’＝（α^T)_μ’^μでないと困ります。

　最近授業について行けない生徒の気持ちがわかってきました。本当にわかりません(T_T)。何を言っているのか理解できないのでやる気をなくしてしまいます。がんばるか落としてしまうかです。
　そうなる前に質問に来て欲しかった。授業中でもわかるまで遠慮無く食い下がって欲しい。

　行列というのはローレンツ変換などのややこしい式を簡単にするためにあったんですね。
　わかってくれましたか。慣れると便利さがわかってきます。

Footnotes:

³¹固有時の定義の符号は常にこの形。座標時tの符号に合わせる。

³²少し前から使っているが、i,j,k,…などのアルファベットは1,2,3（３次元空間）の添字として、μ,ν,ρ,…などのギリシャ文字は0,1,2,3(４次元時空)の添字として使う、というのが相対論の本でよく使われる約束である。

File translated from T_EX by T_THgold, version 3.63.
On 21 Jun 2005, 12:48.

相対論講義録2005年第11回

8.2 行列およびテンソル式で書くローレンツ変換

8.3 一般的方向へのローレンツ変換

第９章 ミンコフスキー空間

9.1 ４次元の内積

学生の感想・コメントから

Footnotes:

第９章　ミンコフスキー空間