2005年度量子力学講義録第１回

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　今日は前期の復習と今後の予定を話しました。

初等量子力学の復習

　前期にやった「初等量子力学」で学習したことのうち、今後の「量子力学」の学習の中で大事になってくる部分について、ざっと復習しておこう。「初等量子力学」では1900年のプランクからはじめて、シュレーディンガー方程式に到達するまでの量子力学の歴史をたどる形で説明したが、ここでは逆に、波動関数とは何なのかから話を始める。

0.1 波動関数とは何か

　量子力学において中心となるのは波動関数ψ(→x,t)である。波動関数は複素数の関数で、その絶対値の自乗ψ^*(→x,t)ψ(→x,t)は粒子がその場所に存在する確率の密度を表す。

　量子力学ではある粒子がどこに存在しているかは決定できず、ただ、その確率密度が計算できるだけである。

　なぜ確率しか計算できないのか、それは理論が不完全だからではないのか、というのは量子力学の歴史において何度も発せられた問いである。これに対して答える方法はいくつかあるが、もっとも決定的な答は

「現実（実験結果）がそうなのだから、仕方がない」

ということになるだろう。物理学の目的は現実をうまく記述する方法を見つけることであって、その記述方法が人間にとって心地よいかどうかは二の次である。いかに量子力学による世界の記述が奇妙に見えようとも、それが人間の直感に反しようとも、現実がそうであるのならば仕方ない。

　むしろ、「なぜ真実¹を記述している量子力学が我々の直感に反してしまうのか」ということを考えよう。一つの理由は、我々の直感が「量子力学的現象が顕著になるにはあまりにスケールの大きい世界（つまり、１センチだとか１フィートだとかで測られる世界）」で作られたものだからである。

　確率しか計算できない量子力学は、古典力学に比べ後退しているように感じられるかもしれない。しかし、たいていの場合その確率密度の広がりは非常に小さく、原子レベル（10^－10m程度）である。我々が普段「質点」と感じるような物体の波動関数の広がりは日常の我々の観測できるスケール（最小でも10^－4m程度？）からすれば「０」と考えてよい。古典力学はこの広がりを０と近似した結果量子力学から導かれるものなのである。

　そもそも、我々が観測できる「世界」というのは、「世界」そのものではない。人間は宇宙の果てを観測できないし、原子レベルの現象も観測できない。我々が見ているのは我々の持っている観測手段の限界というフィルターを通じて入ってくる世界の一部、言わば「世界の切り口」に過ぎない。物理をやる人は、その観測することができた「世界の切り口」から、「世界」全部がどのような仕組みになっているのかを想像し、「こうであるかもしれない世界の仕組み」を構築していかなくてはいけない。そうしておいて、そうやって構築された「仕組み」が果たして現実をちゃんと記述してくれているかどうかをチェックしていく。量子力学の計算手段である波動関数もシュレーディンガー方程式も、そのようにして構築された「仕組み」なのであって、今のところ現実を正しく表しているように見える。

　19世紀までの人間の観測した「世界の切り口」の中には、量子力学の存在はほとんど現れておらず、古典力学で全てが記述できると期待されていた。しかし、黒体輻射、光電効果、コンプトン効果、原子模型など、さまざまな現象が発見され、古典力学では記述できない世界があることが見えた。それはこれまでの直感とは反していた。

　「世界の切り口」しか知らない人間の直感は「世界」全体には通用しないこともある。だから人間は謙虚に世界を調べていかなくてはいけない。量子力学はそのように謙虚に世界を調べた先人達が作り上げたものである。今後、実験の方法が進歩して、我々の得ることができる「世界の切り口」が広がれば、量子力学にも変更が加えられるかもしれない。その時までは、我々は直感に反しても量子力学を採用する (たぶん、量子力学の次に現れるものがあるとしたら、もっと直感に反するだろう)。

　とにかく、波動関数とシュレーディンガー方程式で、この世界の粒子の運動をなんとか記述することができる。この量子力学が我々の知る世界をどのようにうまく記述しているか、それをまず学習して欲しい。

0.2 古典力学と量子力学の対応

　「力学」とは運動を記述する学問に対してつけられる名前である。量子力学も「力学」なので、何かの運動を考える。その「何か」はもちろん波動関数である。波動関数はどのように運動するのだろうか。その運動を記述するのがシュレーディンガー方程式である²。

　シュレーディンガー方程式は、

∂

∂t

ψ(

→
x

,t) = H

(

→
x

,－i

→
∂

∂x

)

ψ(

→
x

,t)

(0.1)

のように書くことができる。ここでH(→x,－i hbar

[(→∂)/∂x])はハミルトニアンであるが、古典力学的ハミルトニアンH(→x,→p)の運動量→pに相当する部分が－i hbar

[(→∂)/∂x]という微分演算子に置き換えられている、量子力学的ハミルトニアンである。

　この式のｘが一部ベクトルになってなかった。上の式では訂正されている。

波動関数ψはこの方程式に従って時間発展していく。それに応じて、粒子がどの場所にいるか、どれだけの速度を持っているか、というような古典力学的物理量も変化していく。量子力学での主役はあくまでψなのである。

このようにシュレーディンガー方程式によって表された量子力学は、我々のよく知っている古典力学と関係づけられたものでなくてはならない。以下は、ハミルトン形式で書いた古典力学と、シュレーディンガー方程式を使った量子力学³との対応関係を表にしたものである。

座標

運動量

エネルギー

力学変数

方程式

極値を取るもの

古典

x(t)

p(t)

x(t),p(t)

dp dt	=	ー	∂H ∂x
dx dt	=		∂H ∂p

∫( p[dx/dt]－H )dt

量子

< x >

< －i

[∂/∂x] >

< i

[∂/∂t] >

ψ(x,t)

[∂/∂ t]ψ = Hψ

2π∫( [dx/λ]－νdt)

この表についていくつか注釈を加えておく。まず記号 < A > は「Aの期待値」であり、具体的には

∫

ψ^* A ψdx

(0.2)

という積分によって計算される。

スペースの都合でシュレーディンガー方程式をi hbar

[∂/∂ t]ψ = Hψと略記したが、このHは古典力学におけるハミルトニアンH(x(t),p(t))にp→ －i hbar

[∂/∂x]という置き換えを行ったものH(x,－i hbar

[∂/∂x])である。

波として考えた時、たとえば「空中に放たれたボールが放物線を描いて曲がる」のような現象はどのように起こると考えればよいのか。

古典力学的に考えると、位置エネルギーの高い方から低い方へと向かう「力」が働くことによって物体は「落ちる」。一方、シュレーディンガー方程式から考えると、位置エネルギーVが大きいところでは運動エネルギーに対応する項が小さくなる。それは「高いところでは波長が長くなれ」ということにほかならない。それゆえ、波が進行していくと、「落ちる」方向へ波が曲がって行くことになる。

また表の最後の欄にあるように、このような法則は作用または位相が極値を取るという原理から導くことができる。波と考えれば位相(=作用÷ hbar

)が極値を取るのは波が干渉によって消されない条件となる。

歴史的には古典力学がニュートンによって作られ、ラグランジュやハミルトンによって最小作用の原理という形に整備された後で量子力学ができた。それゆえ、歴史的順序としては古典力学が基本なのだが、この世界を司っている法則は何なのか、という意味では間違いなく、量子力学こそが本質である。古典力学は量子力学の近似にすぎない。野球のボールが放物線を描いて飛ぶ時、我々は「重力が作用して軌道が曲がったなぁ」と感じる。しかし本当は「波長が上へ行くほど長くなるもんだから、下へ下へと屈折していく」という現象が起こっているのである。

古典力学において「物質の位置がxで運動量がpで」というふうに考えて計算していったが、量子力学の観点に立つと、このような計算はある意味「幻想」である。波動関数というのは常にある程度の拡がりを持つから「物質の位置」などというものは「だいたいこのあたり」というふうにしか指定できない。ただたいていの場合、我々の行う観測の観測誤差の方が波動関数の拡がりよりも大きいので、この拡がりは問題にならない。しかし、状況によっては、波動関数の拡がりというものが物理現象に目に見える形で入ってくるのである。

xの期待値 < x > は、まさに「粒子がどのあたりにいるのか」を表す量であるが、なぜそうなのかは、粒子がxからx+dxの間にいる確率がψ^* ψdxで表されるということから理解できる。∫x ψ^* ψdxという量は、「確率の大きい(ψ^*ψの大きい)部分は大きな重みになるようにしてx の平均を取る」という操作を式にしたものであり、それは期待値という言葉の定義そのものである。

上の表で、量子力学においては力学変数がψ(x,t)であることに注意しよう。つまり量子力学においては物理法則(この場合シュレーディンガー方程式)にしたがって時間発展していくものはxやpではなくψである。そして、物体の位置だの運動量だのは、ψの状態から導かれる２次的な量である。

つまり、波動関数の中には「座標」「運動量」「エネルギー」など、古典力学ではおなじみの(比較的目で確認しやすい)物理量が埋め込まれているわけである。古典力学では目で見えていた「座標」が量子力学では「期待値」などというものに置き換えられてしまうのである。

0.3 期待値の計算

量子力学では波動関数を計算し、その波動関数を使っていろんな物理量の期待値を計算する。この期待値を実験と比較することで理論の正否を考えるわけである。そこで期待値を計算するための便利な方法をここでまとめておく。

・エルミート性

演算子Aが、任意の波動関数ψ,φに対して、

∫

ψ^* Aφdx =

∫

(Aψ)^* φdx

(0.3)

を満たす時、Aはエルミートであるという。エルミートな演算子の期待値は常に実数である。

[問い0-0] 証明せよ。

たいていの場合、物理量は実数であるので、物理量に対応する演算子はエルミートであると考えてよい。

・交換関係

演算子Aと演算子Bの交換関係は

[A,B]=AB－BA

(0.4)

で定義される。一番重要な交換関係は座標xと運動量pの交換関係

[x,p]=i

(0.5)

である。p=－i

[∂/∂x]という表現⁴を考えれば、このような関係が成立することが納得できる。

交換関係については、以下の公式が成立する。

[A,B]

－[B,A]

(0.6)

[A,kB]

k[A,B] (kは数)

(0.7)

[A,B+C]

[A,B]+[A,C]

(0.8)

[A,BC]

[A,B]C+B[A,B]

(0.9)

・固有値と固有関数

ある演算子Aに対して、ある関数ψとある値λが存在して、

Aψ = λψ

(0.10)

となる時、つまり、演算子Aをかけると元の関数のλ倍になるような関数が存在する時、λをAの固有値、ψをAの固有関数と言う。平面波の関数e^ikxは運動量演算子－i hbar

[∂/∂x]の固有関数であり、その固有値は hbar

kである。

固有値の異なる二つの固有関数を考える。

Aψ = λψ, Aφ = λ′φ

(0.11)

もしAがエルミートであれば、この二つの関数をかけて積分したもの（内積）∫ψ^* φdxは０になる（直交する）。

[問い0-0] 証明せよ。

演算子Aに対して、固有値λを出す固有関数をφ_λと書き、波動関数ψが

ψ =

∑
λ

C_λ φ_λ

(0.12)

のように、いろんな値のλを持つ固有関数の和で書かれているとしよう。このような場合、まず、

∫

φ^*_λ φ_λ′ dx=

{

λ ≠ λ′の時

λ = λ′の時

(0.13)

　テキストでは上の式の＊が抜けていた。

という関係が成立しているので、

∫

ψ^* ψdx =

∫

∑
λ

C^*_λ φ^*_λ

∑
λ′

C_λ′φ_λ′

∑
λ

C^*_λ C_λ

(0.14)

である。規格化されているとすれば∑_λ C^*_λ C_λ=1である。C_λ^*C_λは「演算子Aの固有値がλという値をとる確率」であると考えることができる。つまりじゅうぶんたくさんの数のψを用意して実験を行えば、N回のうちN×C_λ^*C_λ回は実験結果として「Aという物理量の値はλ」という答が出ると考える。これも量子力学の基本仮定の一つであって、それが正しいかどうかは実験が決めることである。そして、今までのところは正しいと考えられる。

　波動関数ψ^*と波動関数ψの間にAをはさんで計算すると、

∫

ψ^* A ψdx =

∫

∑
λ

C^*_λ φ^*_λ

∑
λ′

→ λ′

C_λ′φ_λ′dx =

∫

∑
λ,λ′

λ′C^*_λ C_λ′

φ^*_λφ_λ′

積分するとδ_λλ′

∑
λ

λC^*_λ C_λ

(0.15)

となる。ここでC^*_λ C_λという、固有値λが現れる確率にλをかけて足し算が行われているので、∑_λλC^*_λ C_λはλの期待値と解釈できる。このようにして、演算子を真ん中にはさんでψ^* ψの積分を行うことで演算子に対応する物理量の期待値が計算できる。

これが量子力学の計算の基本であり、このようにして期待値を計算していくことで「波動関数で記述された世界」と「実験によって測定された現実」の間の関係を調べていくことができる。

　運動量演算子－i

[∂/∂x]の場合でこの計算を行う。固有関数は[1/√{2π}]e^ikxであり、固有値は hbar

kである。ここでは簡単のため、xの範囲を0 ≦x < 2πとして周期境界条件を置く。kは整数である。

一般の関数ψ(x)は

ψ(x)=

∑
k

f_k ×

√

2π

e^ikx

(0.16)

と、いろんなkの値の[1/√{2π}]e^ikxで展開される。運動量が hbar

kになる確率はf^*_kf_kである。ψは規格化されているとしよう。ゆえに、∑_k f^*_k f_k=1であり、f^*_k f_kは、粒子が運動量 hbar

kを持っている確率である。

期待値は∑_k

k f^*_k f_kとしても計算できるが、

∫

ψ^*

(

－i

∂

∂x

)

ψdx

(0.17)

という計算をしても同じ答になる。

　後期の「量子力学」では、このような波動関数の性質とシュレーディンガー方程式を使って、具体的な量子力学の問題を解きながら理解を深めていきたいと思う。

学生の質問・コメントから

前期の「初等量子力学」の話をすっかり忘れていたので、これからがんばります（同様のコメント、がっくりくるほど多数。まぁこういう人がたくさんいるだろうと思って第１回を復習にあてているのだが）
　せっかく半年かけて勉強したことをそうあっさりと忘れないでください(;_;)。量子力学は今後の勉強でも基本になってくるんですから。

　改めて、量子力学は直感とは違っているなぁと感じた。いろいろ計算して、量子力学が現実の世界をうまく説明していることがわかってきたら、量子力学を信用できるようになるだろうと思った。
　たくさんの物理学者が量子力学を不思議に感じてきたので、簡単には信用できなくて当然です。それでも量子力学が使われているのは、それだけ役に立つからです。自分で手を動かして計算しながら、そこを納得していきましょう。

　固有関数の重ね合わせの意味がわかりません。
　来週またやりますが、とりあえず前期のテキストの最後の方をみましょう。第１３回とか。この後の授業でも具体例がでてきます。

　「波動関数とは何か」という問いの説明に「粒子の状態の情報（運動量など）を持つ量」と書いてある本もありますが、この説明以外にうまく説明しているのはありますか。おそらく波動関数自体の説明としてはこう表すしかないと思います。
　その説明は「具体的にどう情報を持っているのか」という部分がないのでいい説明とはいう部分がないのでいい説明とは思いません。「ψ^*ψは何を表すか」と、「波動関数を
　

ψ =

∑
λ

C_λ φ_λ

と展開した時、係数C_λはどんな意味を持つか」ということをちゃんと説明しないと「波動関数の意味がわかった」ということにはなりません。そういう説明をちゃんとしようと思うとどうしても長くなります。

　「量子力学」は「初等量子力学」より難しいんですか？
　もちろん、難しいです。

　(0.13)式でなぜλ=λ'だと１で、λ≠λ’だと0なのですか？
　0になる方は、その少し上に書いてある「エルミートな演算子に対する固有値が違えば直交する」という定理の結果です。１になる方はそうなるようにφ_λを規格化するからです。

　xの期待値を出すとき、ψ^*とψの間にはさむ理由はなんですか？
　実はｘの場合ははさむ必要はなくて、xψ^*ψでもψ^*ψxでもいいのです。ｐの時はψ^*ｐψでないと困ります。一般にははさんどくのが安全です。

　フーリエ級数（物理数学IV）は必須でしょうか。
　ある程度の説明は初等量子力学でもやりました。しかし、物理数学IVも受けておいた方がいいと思います。

Footnotes:

¹正確には、「今のところ我々の知っている中ではもっとも真実に近い」ぐらいが適当か。

²量子力学の記述の仕方にはシュレーディンガー表示とハイゼンベルク表示があり、ハイゼンベルク表示ではシュレーディンガー方程式の変わりにハイゼンベルク方程式が中心的方程式となる。ハイゼンベルク表示についてはこの講義では触れない。

³わざわざ「シュレーディンガー方程式を使った量子力学」と書いたのは、量子力学の表現形式としてもう一つ、ハイゼンベルクの形式があるからである。この講義では取り上げない。

⁴実は量子力学における演算子の表現はこれだけではない。逆にpが数であって、xがi hbar

[∂/∂p]と微分演算子になるような表現もある。

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On 13 Oct 2005, 12:17.

(TTHの出力に編集を加えています）