量子力学2006年度講義録第１回

第1章初等量子力学の復習

　前期にやった「初等量子力学」で学習したことのうち、今後の「量子力学」の学習の中で大事になってくる部分について、ざっと復習しておこう。「初等量子力学」では1900年のプランクからはじめて、シュレーディンガー方程式に到達するまでの量子力学の歴史をたどる形で説明したが、ここでは逆に、波動関数とは何なのかから話を始める。

1.1 波動関数とは何か

　量子力学において中心となるのは波動関数ψ(→x,t)である。波動関数は複素数の関数で、その絶対値の自乗ψ^*(→x,t)ψ(→x,t)は粒子がその場所に存在する確率の密度を表す。正確に書くと、

粒子がある領域Vに存在している確率は、その領域内で波動関数の絶対値の自乗を積分した量∫_V ψ^*ψdxに比例する

ということになる。特に、∫_全空間ψ^*ψdx=1となっている場合、「波動関数は規格化されている」と言われ、この場合には「粒子がある領域Vに存在している確率は、その領域内で波動関数の絶対値の自乗を積分した量∫_V ψ^*ψdx である」と言ってよい。

　量子力学ではある粒子がどこに存在しているかは決定できず、ただ、その確率密度が計算できるだけである。なぜ確率しか計算できないのか、それは理論が不完全だからではないのか、というのは量子力学の歴史において何度も発せられた問いである。これに対して答える方法はいくつかあるが、もっとも決定的な答は

「現実（実験結果）がそうなのだから、仕方がない」

ということになるだろう。物理学の目的は現実をうまく記述する方法を見つけることであって、その記述方法が人間にとって心地よいかどうかは二の次である。いかに量子力学による世界の記述が奇妙に見えようとも、それが人間の直感に反しようとも、現実がそうであるのならば仕方ない。

　むしろ、「なぜ真実¹を記述している量子力学が我々の直感に反してしまうのか」ということを考えよう。一つの理由は、我々の直感が「量子力学的現象が顕著になるにはあまりにスケールの大きい世界（つまり、１センチだとか１フィートだとかで測られる世界）」で作られたものだからである。

　確率しか計算できない量子力学は、古典力学に比べ後退しているように感じられるかもしれない。しかし、たいていの場合その確率密度の広がりは非常に小さく、原子レベル（10^－10m程度）である。我々が普段「質点」と感じるような物体の波動関数の広がりは日常の我々の観測できるスケール（最小でも10^－4m程度？）からすれば「0」と考えてよい。古典力学はこの広がりを0と近似した結果量子力学から導かれるものなのである。古典力学は近似であるがゆえに（つまり、量子力学ほど精度高い理論ではないがゆえに）「物体の位置を正確に予言している」ように見えるのである。

　そもそも、我々が観測できる「世界」というのは、「世界」そのものではない。人間は宇宙の果てを観測できないし、原子レベルの現象も観測できない。我々が見ているのは我々の持っている観測手段の限界というフィルターを通じて入ってくる世界の一部、言わば「世界の切り口」に過ぎない。物理をやる人は、その観測することができた「世界の切り口」から、「世界」全部がどのような仕組みになっているのかを想像し、「こうであるかもしれない世界の仕組み」を構築していかなくてはいけない。そうしておいて、そうやって構築された「仕組み」が果たして現実をちゃんと記述してくれているかどうかをチェックしていく。量子力学の計算手段である波動関数もシュレーディンガー方程式も、そのようにして構築された「仕組み」なのであって、今のところ現実を正しく表しているように見える。

　19世紀までの人間の観測した「世界の切り口」の中には、量子力学の存在はほとんど現れておらず、古典力学で全てが記述できると期待されていた。しかし、黒体輻射、光電効果、コンプトン効果、原子模型など、さまざまな現象が発見され、古典力学では記述できない世界があることが見えた。それはこれまでの直感とは反していた。

　「世界の切り口」しか知らない人間の直感は「世界」全体には通用しないこともある。だから人間は謙虚に世界を調べて、世界の切り口を広げていかなくてはいけないし、広げられた切り口から見える世界をより深く考察していかなくてはいけない²。たとえば「太陽が地球の周りを回っているように見える」という"常識"はティコ・ブラーエやケプラーなどの精密な観測によって「世界の切り口」が広げられていくにしたがって「いや、地球の方が回っているのだ」という常識にとってかわった。

　量子力学はそのように謙虚に世界を調べた先人達が作り上げたものである。今後、実験の方法が進歩して、我々の得ることができる「世界の切り口」が広がったり、世界をより深く理解する理論的方法が開発されたりすれば、今ある量子力学にも変更が加えられるかもしれない。その時までは、我々は直感に反しても量子力学を採用する(量子力学の次に現れるものがあるとしたら、もっと直感に反する可能性の方が高い)。

　未来の物理の世界は後々の楽しみにおいておいて、とにかく今言えることは、「波動関数とシュレーディンガー方程式で、この世界の粒子の運動をうまく記述することができる」ということである。量子力学が我々の知る世界をどのようにうまく記述しているか、それをまず学習して欲しい。

　このあたりで、波動関数の収縮についての話になった。例えば

という状態で光なり電子なりを当てて粒子の位置の観測を行うと、

か、

のどちらかの状態になる（もちろん、なる確率は３０：７０である）。

　その収縮が起こるというのは、電子や光があたったことで力を受けるんですか？
　いや、波動関数の収縮というのは、力を受けて圧縮されたりとか、そういうこととは全く違う物理現象です。「力を受けて変化する」というのはシュレーディンガー方程式によって起こる時間的変化ですが、波動関数の収縮はシュレーディンガー方程式とは全く別の現象で、瞬間的に起こります。シュレーディンガー方程式は微分方程式なので、そういう瞬間的変化は起きません。

1.2 古典力学と量子力学の対応

　「力学」とは運動を記述する学問に対してつけられる名前である。量子力学も「力学」なので、何かの運動を考える。その「何か」はもちろん波動関数である。波動関数はどのように運動するのだろうか。その運動を記述するのがシュレーディンガー方程式である³。

　シュレーディンガー方程式は、

i $\hbar$

∂

∂t

ψ(

→
x

,t) = H

(

→
x

,－i $\hbar$

→
∂

∂x

)

ψ(

→
x

,t)

(1.1)

のように書くことができる。

　ここでH(→x,－i $\hbar$ [(→∂)/∂x])はハミルトニアンであるが、古典力学的ハミルトニアンH(→x,→p)の運動量→pに相当する部分が－i $\hbar$ [(→∂)/∂x]という微分演算子に置き換えられている、量子力学的ハミルトニアンである。

　波動関数ψはこの方程式に従って時間発展していく。それに応じて、粒子がどの場所にいるか、どれだけの速度を持っているか、というような古典力学的物理量も変化していく。量子力学での主役はあくまでψなのである。

　このようにシュレーディンガー方程式によって表された量子力学は、我々のよく知っている古典力学と関係づけられたものでなくてはならない。以下は、ハミルトン形式で書いた古典力学と、シュレーディンガー方程式を使った量子力学⁴との対応関係を表にしたものである。

座標

運動量

エネルギー

力学変数

方程式

極値を取るもの

古典

x(t)

p(t)

x(t),p(t)

dp dt	=-	∂H ∂ｘ

dx dt	=	∂H ∂p

∫( p[dx/dt]－H )dt

量子

< x >

< －i $\hbar$ [∂/∂x] >

< i $\hbar$ [∂/∂t] >

ψ(x,t)

i $\hbar$ [∂/∂ t]ψ = Hψ

2π∫( [dx/λ]－νdt)

この表についていくつか注釈を加えておく。まず記号 < A > は「Aの期待値」であり、具体的には

∫

ψ^* A ψdx

(1.2)

という積分によって計算される。期待値とは

∑
全ての起こりえる可能性

(ある物理量のとる値)×(物理量がその値を取る確率)

(1.3)

で定義された量であった。この（物理量）としてxをとると、

< x > =

∫

物理量

ψ^* ψdx

確率

(1.4)

となる（x以外の物理量についての期待値はちょっと計算法が異なるが、それについては後述）。この場合は「全ての起こりえる可能性」の和は、「全空間での積分」に置き換えられている。

　「量子力学はミクロな世界の物理法則」という話をよく聞くものだから、逆にマクロな世界は量子力学とは無関係だと勘違いしている人がいる。しかし実際には量子力学は古典力学を中に含んでいるのである。
　というわけで、以下の説明へ。

　波として考えた時、たとえば「空中に放たれたボールが放物線を描いて曲がる」のような現象はどのように起こると考えればよいのか。

　古典力学的に考えると、位置エネルギーの高い方から低い方へと向かう「力」が働くことによって物体は「落ちる」。一方、シュレーディンガー方程式から考えると、位置エネルギーVが大きいところでは運動エネルギーに対応する項が小さくなる。それは「高いところでは波長が長くなれ」ということにほかならない。それゆえ、波が進行していくと、「落ちる」方向へ波が曲がって行くことになる。

　また表の最後の欄にあるように、このような法則は作用または位相が極値を取るという原理から導くことができる。波と考えれば位相(=作用÷ $\hbar$ )が極値を取るのは波が干渉によって消されない条件となる。

　歴史的には古典力学がニュートンによって作られ、ラグランジュやハミルトンによって最小作用の原理という形に整備された後で量子力学ができた。それゆえ、歴史的順序としては古典力学が基本なのだが、この世界を司っている法則は何なのか、という意味では間違いなく、量子力学こそが本質である。古典力学は量子力学の近似にすぎない。野球のボールが放物線を描いて飛ぶ時、我々は「重力が作用して軌道が曲がったなぁ」と感じる。しかし本当は「波長が上へ行くほど長くなるもんだから、下へ下へと屈折していく」という現象が起こっているのである。

　古典力学において「物質の位置がxで運動量がpで」というふうに考えて計算していったが、量子力学の観点に立つと、このような計算はある意味「幻想」である。波動関数というのは常にある程度の拡がりを持つから「物質の位置」などというものは「だいたいこのあたり」というふうにしか指定できない。ただたいていの場合、我々の行う観測の観測誤差の方が波動関数の拡がりよりも大きいので、この拡がりは問題にならない。しかし、状況によっては、波動関数の拡がりというものが物理現象に目に見える形で入ってくるのである。

　上の表で、量子力学においては力学変数がψ(x,t)であることに注意しよう。つまり量子力学においては物理法則(この場合シュレーディンガー方程式) にしたがって時間発展していくものはxやpではなくψである。そして、物体の位置だの運動量だのは、ψの状態から導かれる２次的な量である。

　つまり、波動関数の中には「座標」「運動量」「エネルギー」など、古典力学ではおなじみの(比較的目で確認しやすい)物理量が埋め込まれているわけである。古典力学では目で見えていた「座標」が量子力学では「期待値」などというものに置き換えられてしまうのである。

　この辺りで今日は時間がつきた。以後の部分は読んでおいてください（前期の復習です）。来週は第２章から始めます。

1.3 固有値と物理量

　運動量がどのように波動関数の中に隠れているかを説明しよう。量子力学では運動量pは－i $\hbar$ [∂/∂x]という微分演算子に置き換えられる。この意味は何かというと、

－i $\hbar$

∂

∂x

ψ_p = pψ_p

(1.5)

という式を満たすような波動関数があった時、その波動関数で表される「量子力学的状態」は運動量pを持っている、ということである。

(1.5)のような

（演算子）×（関数）＝（値）×（関数）

(1.6)

という形の式を固有値方程式と呼び、この（値）を「固有値」、（関数）を「固有関数」と呼ぶ。運動量の場合の固有関数は

ψ_p = e^ipx

(1.7)

と求めることができる。

　もちろん、一般の状態は(1.5)を満たさない。しかし、一般の状態は

ψ = f_p₁ψ_p₁+f_p₂ψ_p₂+f_p₃ψ_p₃+… =

∑
p

f_p ψ_p

(1.8)

のように、いろんな固有値pを持った関数の和で書くことができる（より一般的には、和ではなく積分になることも多い）ことが証明されている⁵。

　「ψ_pが運動量pを持っている」ということだったが、上のψは、「運動量p₁を持った状態、運動量p₂を持った状態、運動量p₃を持った状態、…の重ね合わせである」と言える。

　同様に、広がりのある波動関数ψで表される状態は、「粒子がx₁にいる状態、粒子がx₂にいる状態、粒子が x₃にいる状態、…の重ね合わせ」と考えることができる。

このように、波動関数で表される状態は、古典力学のように確定した運動量や確定した位置を持たず、その値にある程度の広がりが常にある。

　演算子Aが、任意の波動関数ψ,φに対して、

∫

ψ^* Aφdx =

∫

(Aψ)^* φdx

(1.9)

を満たす時、Aはエルミートであるという。エルミートであるということはつまり、積分の中で、右の波動関数にかかっている演算子を左の波動関数にかけ変えることができるということである。

　エルミートな演算子の期待値と固有値は常に実数である。たいていの場合、物理量は実数であるので、物理量に対応する演算子はエルミートであると考えてよい。

　エルミートな演算子の期待値が実数であることを証明するには、(1.9)でφ = ψと置く。すると、

∫

ψ^* Aψdx =

∫

(Aψ)^* ψdx =

∫

ψ(Aψ)^*dx =

(

⌠
⌡

ψ^* Aψdx

)

(1.10)

となるが、これはつまり∫ψ^* Aψdxが実数であるということに他ならない。このψは任意であるが、特にAの固有状態である場合を考えると、Aψ = λψという式が成立し、固有値がλである。(1.10)にこれを代入すればλ = λ^*が導かれるので、エルミートな演算子は期待値も固有値も実数であることがわかる。

　座標x、運動量p、ハミルトニアンHなどは、すべてエルミートな演算子である。

エルミートな演算子には、もう一つ重要な性質がある。固有値の異なる二つの固有関数を考える。

Aψ = λψ, Aφ = λ′φ

(1.11)

　もしAがエルミートであれば、この二つの関数をかけて積分したもの（内積）∫ψ^* φdxは０になる（直交する）。

演算子Aに対して、固有値λを出す固有関数をφ_λと書き、波動関数ψが

ψ =

∑
λ

C_λ φ_λ

(1.12)

のように、いろんな値のλを持つ固有関数の和で書かれているとしよう。このような場合、（φ_λが規格化され、縮退がない場合には）

∫

φ^*_λ φ_λ′ dx=δ_λλ′=

｛

λ ≠ λ′の時

λ = λ′の時

(1.13)

という関係が成立しているので、

∫

ψ^* ψdx =

∫

∑
λ

C^* φ^*_λ

∑
λ′

C_λ′φ_λ′dx

∑
λ

C^*_λ C_λ

(1.14)

である。規格化されているとすれば∑_λ C^*_λ C_λ=1である。C_λ^*C_λは「演算子Aの固有値がλという値をとる確率」であると考えることができる。つまりじゅうぶんたくさんの数のψを用意して実験を行えば、N回のうちN×C_λ^*C_λ回は実験結果として「Aという物理量の値はλ」という答が出ると考える。これも量子力学の基本仮定の一つであって、それが正しいかどうかは実験が決めることである。そして、今までのところは正しいと考えられる。

　波動関数ψ^*と波動関数ψの間にAをはさんで計算すると、

∫

ψ^* A ψdx =

∫

∑
λ

C^*_λ φ^*_λ

∑
λ′

→ λ′

C_λ′φ_λ′dx =

∫

∑
λ,λ′

λ′C^*_λ C_λ′

φ^*_λφ_λ′

積分するとδ_λλ′

∑
λ

λC^*_λ C_λ

(1.15)

となる。ここでC^*_λ C_λという、固有値λが現れる確率にλをかけて足し算が行われているので、∑_λλC^*_λ C_λはλの期待値と解釈できる。このようにして、演算子を真ん中にはさんでψ^* ψの積分を行うことで演算子に対応する物理量の期待値が計算できる。

これが量子力学の計算の基本であり、このようにして期待値を計算していくことで「波動関数で記述された世界」と「実験によって測定された現実」の間の関係を調べていくことができる。

　運動量演算子－i $\hbar$ [∂/∂x]の場合でこの計算を行う。固有関数は[1/√{2π}]e^ikxであり、固有値は $\hbar$ kである。ここでは簡単のため、 xの範囲を0 ≦x < 2πとして周期境界条件を置く。kは整数である。

　↑テキストで不等号の向きが間違ってました。

一般の関数ψ(x)は

ψ(x)=

∑
k

f_k ×

√

2π

e^ikx

(1.16)

と、いろんなkの値の[1/√{2π}]e^ikxで展開される。運動量が $\hbar$ kになる確率はf^*_kf_kである。ψは規格化されているとしよう。ゆえに、∑_k f^*_k f_k=1 であり、f^*_k f_kは、粒子が運動量 $\hbar$ kを持っている確率である。

期待値は∑_k $\hbar$ k f^*_k f_kとしても計算できるが、

∫

ψ^*

(

－i $\hbar$

∂

∂x

)

ψdx

(1.17)

という計算をしても同じ答になる。

1.4 交換関係と量子力学の中の「力学」

演算子Aで表されたある物理量の期待値を考えよう。この期待値の時間微分をしてみると、

< A > =

(

∫

ψ^* Aψdx

)

∫

(

∂ψ^*

∂t

Aψ+ψ^*

∂A

∂t

ψ+ψ^* A

∂ψ

∂t

)

(1.18)

となるが、ここでシュレーディンガー方程式から

∂ψ

∂t

i $\hbar$

Hψ,

∂ψ^*

∂t

=－

i $\hbar$

(Hψ)^*

(1.19)

となることを使うと、

< A > =

∫

(

－

i $\hbar$

(Hψ)^* Aψ+ψ^*

∂A

∂t

ψ+

i $\hbar$

ψ^* A Hψ

)

∫

ψ^*

(

－

i $\hbar$

HA+

∂A

∂t

i $\hbar$

A H

)

ψdx

∫

ψ^*

(

∂A

∂t

i $\hbar$

[A,H]

)

ψdx

(1.20)

となる。ただしここで、演算子Aと演算子Bの交換関係を

[A,B]=AB－BA

(1.21)

と定義した。交換関係、特にハミルトニアンとの交換関係[A,H]は、上の式でわかるように

< A > = <

∂A

∂t

i $\hbar$

[A,H] >

(1.22)

となって、演算子の期待値の時間微分と結びついているので重要である。

　もっとも基本的な交換関係は座標xと運動量pの交換関係

[x,p]=i $\hbar$

(1.23)

である。p=－i $\hbar$ [∂/∂x]という表現⁶を考えれば、このような関係が成立することが納得できる。

交換関係については、以下の公式が成立する。

[A,B]

－[B,A]

(1.24)

[A,kB]

k[A,B] (kは数)

(1.25)

[A,B+C]

[A,B]+[A,C]

(1.26)

[A,BC]

B[A,C]C+[A,B]C

(1.27)

以上のような公式を使うと、量子力学の計算を少しずつ簡単にしながら実行することができる。

上の最後の式[A,BC]=B[A,C]+[A,B]Cについては、「積BCと何か(今の場合A)との交換関係を取るときは、前にあるもの(今の場合B) を前に出して後ろにあるもの(今の場合C)を交換関係の中に残したものと、後ろにあるもの(今の場合C)を後ろに出して前にあるもの(今の場合B)を前に出したものになる」と覚える。「前にあるものは前に、後ろにあるものは後ろに出す」ことが大事。こうしないと演算子の順番が狂う。

この公式から、

[p,x²]

x[p,x]+ [p,x]x = 2i $\hbar$ x

(1.28)

[p,x³]

x[p,x²]+ [p,x]x² = 3i $\hbar$ x²

(1.29)

[p,x⁴]

x[p,x³]+ [p,x]x³ = 4i $\hbar$ x³

(1.30)

のようにして計算することで、

[p,xⁿ] = i $\hbar$ n x^n－1

(1.31)

という公式を作ることができる。

あるxの関数f(x)があるとして、これがf(x)=∑_n=0^∞ [1/n!]f⁽ⁿ⁾(0)xⁿとテイラー展開できると考えると、

[p,f(x)] =

∞
∑
n=0

f⁽ⁿ⁾(0)[p,xⁿ] = i $\hbar$

∞
∑
n=1

(n－1)!

f⁽ⁿ⁾(0) x^n－1

(1.32)

となるが、∑_n=1^∞ [1/(n－1)!]f⁽ⁿ⁾(0) x^n－1=[df/dx] (x)であることを考えると、

[p,f(x)]=i $\hbar$

(1.33)

という公式を作ることができる。同様に、

[x,f(p)] = －i $\hbar$

(1.34)

である。これを使うことで、

< x > = <

i $\hbar$

[x,H(x,p)] > = <

∂H

∂p

(1.35)

および

< p > = <

i $\hbar$

[p,H(x,p)] > = < －

∂H

∂x

(1.36)

という式が出る。これは古典力学における正準方程式が量子力学においては期待値の形で成立することを示している。

後期の「量子力学」では、このような波動関数や演算子の性質とシュレーディンガー方程式を使って、具体的な問題を解きながら量子力学の理解を深めていきたいと思う。

当然計算も面倒になるし、概念的にも難しいことが増えるが、それらを学ぶ中で、シュレーディンガー方程式や波動関数がいかに不思議に見えても、実は我々の住むこの現実世界を正しく記述する道具になっているのだということを実感してもらいたい。

1.5 演習問題

[演習問題1-1] 波動関数ψ(→x,t)がψ(→x,t)=φ(→x)e^－[i/( $\hbar$ ^)]Etと書ける時、φ(→x)が満たすべき方程式を求めよ。この方程式は「定常状態のシュレーディンガー方程式」と呼ばれる。

[演習問題1-2] 波動関数ψ(→x,t)がψ(→x,t)=φ(→x)e^－[i/( $\hbar$ ^)]Etと書ける時は、ψ^*ψが時間によらないことを示せ。また、エネルギーの原点をずらしてもψ^*ψには影響がないことを確かめよ。

[演習問題1-3] 以下のような関数で表される波動関数を考える(考える範囲は [－π,π]としよう)。それぞれを規格化し、確率密度のグラフの概形を書け。

ψ(x)=sin(x)
ψ(x)=e^inx (nは整数)

ψ(x)

x ( for x ≥ 0)

ψ(x)

－x ( for x < 0)

また、それぞれの場合について < x > を計算してみよ。

[演習問題1-4]

以下のように表される波動関数ψ(実数部しかない)を規格化した後、 < x > を求めよ。

[演習問題1-5]

∫ψ^*(x,t)ψ(x,t) dxの値は時間が経っても変化しない(確率の保存則)ことを、シュレーディンガー方程式とその複素共役から作られる式を使って証明せよ。ただし、ψ(x,t)およびその微分は遠方では0になっているものとする。

[演習問題1-6] ある演算子A(微分などを含んでいてよい)が任意の関数ψ,φに対し、

∫

ψ^* (Aφ) dx =

∫

(Aψ)^* φdx

を満たすとき、エルミートな演算子であるという。

位置座標x
運動量p=－i $\hbar$ [∂/∂x]
ハミルトニアンH=－[( $\hbar$ ²)/2m][(∂²)/(∂x²)]+V(x)

がエルミートであることを証明せよ。ただし、xの積分範囲は(a,b)として、x=aとx=bではψ,φやその微分は０になっているという境界条件で考えよ。

Footnotes:

¹正確には、「今のところ我々の知っている中ではもっとも真実に近い」ぐらいが適当か。

²そのような作業においては人間の直感はあてにならないので、物理的考察には数学の力を借りることが不可欠となるのである。もっとも、数学に頼りすぎてもやっぱり危ない。

³量子力学の記述の仕方にはシュレーディンガー表示とハイゼンベルク表示があり、ハイゼンベルク表示ではシュレーディンガー方程式の変わりにハイゼンベルク方程式が中心的方程式となる。ハイゼンベルク表示についてはこの講義では触れない。

⁴わざわざ「シュレーディンガー方程式を使った量子力学」と書いたのは、量子力学の表現形式としてもう一つ、ハイゼンベルクの形式があるからである。この講義では取り上げない。

⁵ここでは一つの固有値に対して関数は一つとして書き記した。場合によって、一つの固有値で二つ以上の関数がある場合もある。この時は「波動関数が縮退している」と言う。

⁶実は量子力学における演算子の表現はこれだけではない。逆にpが数であって、xがi $\hbar$ [∂/∂p]と微分演算子になるような表現もある。

学生の感想・コメントから

　前期の初等量子力学でやったこと、ほとんど忘れてました（嫌になるほど多数）。
　予想はしてましたが、やはりこういう感想が一番多かった。

　初めて聞く話のような気がしました（なんてのも多数）。
　参ったなぁ。。。。後期の量子力学は前期の初等量子力学の上に積み上げていくので、前期の話を忘れていてはちんぷんかんぷんになりますよ。

　もう補習は受けなくて済むようがんばります（補習組より多数）。
　そうなるよう、がんばりましょう。

　量子力学⊃古典力学ということでしたが（実際にはベン図が書いてあった）、相対論や統計力学はどうなるのですか？
　相対論的か非相対論的かということは量子か古典かということは全く独立なので、

	非相対論的	相対論的
古典力学	ニュートン力学	相対論的力学
量子力学	シュレーディンガー方程式	Dirac方程式 KleinGordon方程式

という感じになります。今勉強しているのは非相対論的量子力学。相対論的量子力学は４年以上で。
　統計力学の方も古典的なのと量子的なのと、両方あります。

　プリントは大事なところは空欄にしておいて、書き込む形にしたほうがいいのではないでしょうか。
　一つの手ですが、話を聞くことに集中して欲しいということでこのようにしてます。

　量子力学は初等量子力学より難しそうです。。。（多数）
　はい、その通りです。だからもっともっと勉強してください。

　波動関数の10^-7程度の広がりに電子を当てると、収縮が起きて範囲が狭まるのですか？
　はい、そうです。どこか電子によって測定できる範囲の幅の中に収縮してしまいます。

　異なる粒子どうしの波動関数は干渉を起こすんでしょうか？
　違う種類（電子と陽子とか）だと干渉できません。

　収縮は光から影響を受けて起こるんだと思ってました。
　影響と言えば影響ですが、力の及ぼし合いとは全く違うタイプの「影響」なのです。

　重力のような力は量子力学ではどのように考えられているのですか？
　一般相対論では、重力というのは、高さ（＝重力ポテンシャル）の違いによる時間の進み方の違いによるということになってます。

　高いところ：時間が速い→物質波も速く進む。

　低いところ：時間が遅い→物質波もゆっくり進む。

　この物質波の速度差のせいで屈折するのが「落下」です。

　Ψは観測して値がわかるんですか？
　観測するともうΨの関数形が変わってしまうので、Ψの形を観測することはできません。ある程度予想して計算することはできます。

　光の位相が極値になるというのは、フェルマーの原理と関係ありますか？
　もちろんあります。同じ理屈です。

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On 12 Oct 2006, 13:01.

量子力学2006年度講義録第１回

第1章 初等量子力学の復習

1.1 波動関数とは何か

1.2 古典力学と量子力学の対応

1.3 固有値と物理量

1.4 交換関係と量子力学の中の「力学」

1.5 演習問題

Footnotes:

学生の感想・コメントから

第1章初等量子力学の復習