波動論2006年度講義録第２回

←第１回へ　目次に戻る第３回へ→

　前回の質問などについていくつか話した。たとえば空が青くて夕日が赤いという話のついでに、満月が地球大気を抜けてくる光を浴びると赤くなることがあるよ、という話をしたが、あんまり知っている人はいなかった模様(月食の時など、太陽の反対側にできている地球の影に月が近づく時にだけ起こる、レア現象です）。授業中は話すの忘れてましたが、別に大気中を通り抜けてきた光を浴びているという特殊ケースでなくても、夕日や朝日同様、低い角度にいる時は多少赤っぽくなります（こっちの方が見られる頻度は高い）。
　あと、水面にできる波は実は縦波でも横波でもない（というよりその両方を兼ねる）波であるというような話もした。ちょっと余談が長かったかも。
　さらに先週の「X線はなんで人間のからだを透過できるんですか？」という質問にも答えた。体を作る原子の隙間を通れてしまうのである。これは「短波長の波ほど直進性がいい」という性質が効いている。

第１章ウォーミングアップ-単振動

この章ではまずはウォーミングアップとして、一点での（伝わらない）「振動」を考えよう。

この章で学ぶ大事なこと

単振動の方程式の性質

単振動の方程式のいろいろな解き方

単振動の表現いろいろ

1.1 単振動の運動方程式

　物体が振動するためには、復元力（どのような力かはすぐ後で説明）が必要である。物体の振動の中で、もっとも単純な振動が単振動である。単振動とは、運動方程式が（適当な変形を施した後に）単振動の運動方程式

d² x(t)

dt²

= －ω² x(t)

(1.1)

という形になるような運動である。x(t)は物体の位置などを表す「座標」であり、時間の関数となる。

　単振動が起こる一例としては、一端を固定したばね定数kのばねの他端にくくりつけられた質量mの物体がある。

　上の図の右下がり直線は何ですか？という質問が来ていたのでここで解答しておくと、運動方程式の右辺である　-kx(t)　である。

　単振動する物体のアニメーションはこちら。

　この場合の運動方程式は

d² x(t)

dt²

= －k x(t)

(1.2)

であり、k=mω²と置いて整理すると上の方程式(1.1)になる。

　このような力が働くと振動が起こるということを確認しておこう。この力のグラフを書くと右の図のようになる。図にあるように、この力は中心x=0より右側にある物体を左に、左側にある物体を右に引っ張る。このような力が働くとき、物体をx=0ではない位置（とりあえずaを正の数としてx=aにしよう）に置いたとすると、以下のような現象が起こる。

物体に左向きの力が働き、左に加速する。
物体は左（つまりx=0に向かって）動き出す。
x=0に達すると力も0になる。しかし、ここまで受けた力により、左向きの速度を獲得しているので、そのままx=0を通り抜けて左へ進む。
x=0を越えて右側に出ると、今度は左向けの力が働くため、物体は減速し、ついには止まる。
しかし、止まる位置は右側(x < 0の場所)なので、今度は左向きに力が働き、物体は左に動き出す。
やがて物体はx=0に達し、ここで力は0になるが、今度はその場所で左向きの速度を獲得しているので、左へ動き続ける。
やがて物体は静止する。
以下同じ事の繰り返し。

このような現象が起こるには、ある点（平衡点）よりも右にいるときには左向きに、左にいる時には右向きの力が働けばよい。そのような性質を持つ力を復元力と言うのである。式で書いて－kx(t)となる力はもちろん、復元力である。もちろんこれ以外にも、－k(x(t))³でもいいだろうし、もっと複雑怪奇な関数でもかまわない。

　－kx(t)の形の復元力がよく出てくるのは、それがもっとも簡単な式だからという理由の他に、「複雑な関数で表された復元力も、平衡点（力が0になるポイント）付近で展開すると－kx(t)の形になっていることが多い」ということもある。

　たとえば、長さlの糸でつるした振り子の運動の運動方程式は、左の図に書いたような力が働き、その糸と垂直な方向の成分だけを考えて運動方程式を立てると、

　振り子運動のアニメーションはこちら。
　なんせ振り子なもんだから、授業中に見せると眠くなる人がたくさんいた模様(^_^;)。

d²θ

dt²

=－mg sinθ

(1.3)

となる。この場合の平衡点はθ = 0である⁸。

　これは単振動の運動方程式ではない。実際に解こうとすると楕円関数なども出てきてたいへん面倒な式になる。しかしここで、

sinθ = θ

－

θ³ +

θ⁵+…

この部分は無視する

(1.4)

と展開して第一項のみを考える⁹ことにする。

　このような近似（１次式の部分だけを取る）を「線型近似」と呼ぶ。線型近似の結果、運動方程式は

d²θ

dt²

=－mg θ

(1.5)

となり、単振動の方程式と同じとなる。多くの物理現象が、線型近似すると単振動と同等になる。

単振動をする物体を総称して、「調和振動子(harmonic oscillator)」と言う。調和振動子(あるいは単振動)は、ばね振り子の運動はもちろん、光（電磁波）、音、固体の振動など、いろいろな状況において出現する。したがって物理現象を理解するためには、単振動の理解は不可欠である。

1.2 単振動の運動方程式の性質

　単振動の運動方程式には、重要な性質がいくつかある。そしてそれらの性質は、物理のいろんな分野に現れる方程式に共通のものである。当然、これらの性質は後で出てくる波動方程式で重要になってくる。そこでその重要な性質について、ここでまとめておく。もう一度(1) を見よう。この式は

d²

dt²

x(t) = －ω² x(t)

(1.6)

のように、両辺ともに、x(t)の一次式になっている。このような場合「この方程式はx(t)に関して線型である」¹⁰という言い方をする。「線型(linear)」は「１次式」の別名だと思えばよい。

　なお、厳密な意味では「１次式＋０次式」の場合も「線型」という言葉を使う。１次式のみの場合は正確には「線型同次」と言う。以下の説明は「線型同次」のつもりで読んでください。

　他にもたとえば、

∂

∂t

ψ = －

∂²

∂x²

(1.7)

は「ψに関して線型」だし、

(

－

c²

∂²

∂t²

∂²

∂x²

－m²

)

φ = 0

(1.8)

は「φに関して線型」である。線型な方程式の利点は線形方程式の解の重ね合わせ線型な方程式の解が複数個（例えばf₁(x),f₂(x),…,f_i(x),…）見つかったとすると、これらに適当な係数をかけて足し算したもの

a₁ f₁(x)+a₂ f₂(x)+…+a_i f_i(x)+… =

∑
i

a_i f_i(x)

もまた、この方程式の解である。ということである。たとえば[(d²)/(dt²)]x(t) = －ω² x(t)の解としてX(t)とY(t)を見つけたとすると、X(t)+Y(t)も、X(t)－Y(t)も、あるいは√3X(t)+45Y(t)も、全て解である。

　一応確認しておこう。

d²

dt²

( √3X(t)+45Y(t) ) =

√3

d²

dt²

X(t)+45

d²

dt²

Y(t)

－√3ω²X(t)－45ω²Y(t)

－ω²(√3X (t)　＋　45Y(t))

(1.9)

となることから、 √3X(t)+45Y(t)は立派な解である。
　最後の式で一カ所符号が逆でした。直しておいてください。　

[(d²)/(dt²)]x(t)=－ω² (x(t))²のように方程式が線型でない場合、たとえX(t)とY(t)が解であったとしても、

d²

dt²

( √3X(t)+45Y(t) ) =

√3

d²

dt²

X(t)+45

d²

dt²

Y(t)

－√3ω²(X(t))²－45ω²(Y(t))²

－ω²(√3(X(t))²＋45(Y(t))²)

≠

－ω² (√3X(t)+45Y(t))²

(1.10)

となるので√3X(t)+45Y(t)は元の方程式の解ではなくなってしまう。
　上の式の符号も一カ所符号が逆でした。　　

線型方程式の「重ね合わせが可能」という性質は物理をずいぶん簡単にしてくれる。線型でない場合を「非線型」というが、この場合は方程式を解くことも、解いた解を整理することもたいへんややこしくなる¹¹。この講義では線型な方程式で表現されるような物理を主として扱うことにする。

　ところで「解をたくさん作ることができる」と言ったが、既知の解の和で書かれている解は元の解と独立ではない¹²。後で理由などは説明するが、二階線型微分方程式ならば独立な解は二つしかない（n階線型微分方程式ならn個しかない）。ゆえに、二個の独立な解を見つけたら、「全ての解を見つけた」と宣言してかまわないことになる。それ以外の解は、これまでみつけた２つの解を組み合わせて表現できるのである。

　単振動の場合、解を Asin(ωt+α)と書くと二つの解が出てないように見えるかもしれないが、

Asin(ωt+α)=A′sinωt + B′cosωt

(1.11)

と表現することもできる。この二つが同じ意味であることは加法定理sin(α+β)=cosαsinβ+ sinαcosβからわかる。この場合、 A′=Acosα,B′=Bsinαである。この右辺の表現では、cosωtとsinωtという二つの独立な解を重ね合わせて新しい解を作っていることになる。

【補足】この部分は授業では話さない可能性もあるが、その場合は読んでおいてください。

また、(1)は

d²

dt²

演算子

x(t)

関数

－ω²

定数係数

x(t)

元の関数

(1.12)

という形になっている。このような形の方程式を「固有値方程式」と呼び、この方程式の解となる関数を「固有関数」、この時出てくる定数係数を「固有値」と呼ぶ。もっと複雑な、たとえば

d x

(

(1－x²)

)

=－λΘ

(1.13)

など¹³も、[d/d x]((1－x²)[d/dx])の部分を演算子と考えると、固有値方程式である（固有関数はΘ、固有値は－λ）。

このような固有値方程式の、固有値と固有関数の関係（たとえば、固有値が変わると固有関数がどのように変化するか、など）からいろいろと面白く便利な関係が得られる（詳しくは後で話そう）。固有関数と固有値は、振動や波動はもちろん、量子力学やその他の物理でもよく登場する概念である。

【補足終わり】

1.3 単振動の方程式の解き方いろいろ

　さて、ではこの運動方程式を解く方法を考えよう。実際のところ、これは解かなくても、三角関数で表される解x(t)=Asin(ωt+α)があることはよく知られている。しかし、ここでは一般的に方程式を解く方法を考えておこう。以下のように、いろんな方法が考えられる（これで網羅できているわけではない）。

(1.1) を解く方法いろいろ

この運動が円運動の射影であることを使う: 平面上の等速円運動の射影をとるとこの運動が出てくるので、それを使って解く。
積分する: 微分の反対は積分なので、どんどん積分していけばxが求まるはずである。
定数係数の線形微分方程式の一般論を使う解法: 定数係数で、線形（つまり、変数xの１次の項のみで書かれている）な微分方程式は、一般論としてe^λtの形の解を持つ。
級数展開で解く: 解をテーラー展開などの級数で書いて、その各項を決めていく。

実際に解くという意味では（答えさえ求まれば）どの方法で解いたっていいのだが、ここでは後々にいろんな方法で解く練習として、この一つの方程式を以上の方法の全部で解いて解き比べをしてみよう。

1.3.1 円運動の射影であることを使う

微分方程式がちゃんと解けるならばこういう方法を使う必要は実はないのだが、単振動のイメージをつかむためには、「単振動は円運動の射影である」という考えも悪くない。まず運動の射影ということについて確認しておこう。

たとえば落体の運動を考えよう。重力場中に投射された物体は放物線を描く。式で書くならばこの運動は

{

x(t)=v_0x t

y(t)=v_0yt －

gt²

(1.14)

である（v_0x,v_0yはそれぞれx方向、y方向の初速度で、gは重力加速度）。この式のx成分だけを見るとそれは等速直線運動であり、y方向だけを見ると等加速度運動である。つまり、

(放物運動)=(等速直線運動)×(等加速度運動)

(1.15)

という運動の分解ができるわけである。x方向、y方向はそれぞれに運動方程式

{

d²x(t)

dt²

d²y(t)

dt²

=－mg

(1.16)

を満たす。

テキストでは、上の式の分子の²が抜けてました。訂正お願いします。

初期位置が原点で初速度が(v_x0,v_y0)だったとしてこの運動方程式を解けば、(1.14)が求められる。

　例によって、動くアニメーションで円運動の射影が単振動となることを確認したい人は、このプログラムをどうぞ。

放物運動が分解できたのと同様に、

(等速円運動)=(単振動)×(単振動)

(1.17)

と分解できると考えることができる。

そのことを示すために、円運動を復習しよう。半径rの円周上を速度vで回っている物体を考える。この回転の速さを表すのに、速度v（つまり、物体が単位時間にどれだけの距離動くか）を使って表すこともできるが、角速度ω（つまり、単位時間に中心から見てどれだけの角度動くか）を使って表すことも多い。速度と角速度の間には

円運動の速度と角速度の関係

v=rω (vは速度、rは半径、ωは角速度)

(1.18)

という関係がある。

　それは、角度の単位であるradが、上の図のように、「半径１で中心角θなら、弧の長さはθになる」と定義されているおかげである¹⁴。半径rで角度θならrθとなるし、半径rで角度ω（つまり１秒間での移動）ならば距離はrωとなる。円運動を特徴づける量にはこの他に周期T（１周にかかる時間）、回転数n（単位時間に何周するか）、などがある。すぐにわかるように、周期と回転数は互いの逆数である（T=¹/_n）。また、角速度は単位時間に回る角度で、2π回ると一周であるから、

周期・回転数と角速度の関係

2π

, n=

2π

または ω =

2π

=2πn

(1.19)

という関係がある。

　次に、円運動の加速度を考えよう。速度は「単位時間あたりの位置座標の変化」と定義され、「加速度は「単位時間あたりの速度の変化」で定義される。円運動の速度がv=rωなのは、微小時間∆tが経過してω∆tだけ回転すると、rω∆tだけ移動するから(v=[rω∆t/∆t]=rω)と考えることができる。同様に速度の変化を考えると、v=rωという長さを持った速度ベクトルが、円運動の角速度ωと同じ角速度でぐるぐると回っているということになる∆t の微小時間が経過して物体がω∆tだけ回転すれば、速度ベクトルもそれだけ回転する。同様に考えると、速度の変化（＝加速度）は

円運動の加速度の大きさ

a =

v ω∆t

∆t

rω×ω∆t

∆t

=rω² = vω =

v²

(1.20)

となる(v=rωなので、最後の３つの表現はみな同じである)。

さて、この運動をx方向とy方向に分解してみよう。半径rで角速度ωの円運動なので、

{

x=rcos(ωt+α)

y=rsin(ωt+α)

(1.21)

である（図参照）。速度に関しては

{

v_x=－rωsin(ωt+α)

v_y=rωcos(ωt+α)

(1.22)

となる。

　テキストでは、上の式の下にωが抜けてました。

この式は、図からもわかるし、x,yの式を微分しても得られる。同様に、

{

a_x=－rω²cos(ωt+α)

a_y=－rω²sin(ωt+α)

(1.23)

とわかる。

ここで注目すべきことは、x,yとa_x,a_yが比例定数－ω²で比例していることである。

「角速度ωの円運動をx方向に射影すると、

d² x

dt²

=－ω² x

を満たす運動ができる」

ということがわかったので、その逆を考えれば、

「運動方程式

d² x

dt²

=－ω² x

を満たす運動は、角速度ωの円運動を射影したような運動である」

と結論できることになる。

　この時、円運動における角速度に対応する量ωを「角振動数」と呼ぶ。また、ωt+αの部分は「角度」とは呼ばず「位相」と呼ぶ（数式的な取り扱いは角振動数↔角速度、位相↔角度で何の違いもない）。またαはt=0における位相なので「初期位相」と呼ばれる。これらの用語は振動だけではなく、波動でも使われる。

　この方法は「円運動を射影するとこうなるから、こういう方程式の解としてこんな運動が起こるだろう」という筋道をとっているので、「運動を先に決めて、それにみあう方程式を探した」という方が近いかもしれない。

　この後の解法については、また来週。

Footnotes:

⁸厳密に言えば、θ = πも平衡点であるが、これは「不安定な平衡点」であって、単振動の中心になり得ない。

⁹「こんなことしていいの？」と不安に思う人が多いが、たとえばθ = [π/6](30°)の場合でも、θ = [π/6]=0.5235987758…に対し、[1/3!]θ³=¹/₆([π/6])³=0.02392459621…、 [1/5!]θ⁵=[1/120]([π/6])⁵=0.0003279531945…となる。第１項だけをとっても、右辺の誤差は5％以下である。それに、たいていの振り子の振れ角は30°よりずっと小さい。

¹⁰「線型」を「線形」と書く本もあるが、意味は同じ。

¹¹しかしそれゆえに面白い現象が隠れていることもあり「非線型物理」というのは物理の一分野になっている。

¹²ある一つの関数f が他の関数g,h,…などの適当な係数をかけてからの和の形で書けない時、「fは独立だ」と言う。逆にf=3g－2hなどと書けた時は、「f,g,hは独立でない」と言う。

¹³これは Legendreの微分方程式と呼ばれるもので、これの解がLegendre多項式である。

¹⁴当然、90°を直角とする角度の単位を使う場合はv=rωは使えない。物理ではほとんど常にradを使う。

学生の感想・コメントから

　X線が体の中を抜けていくというイメージがわかないんですが。

　X線は波長が原子サイズよりも小さいのです。障害物である原子より小さいので、光が人間程度の大きさによって遮られるのと同様に、原子はX線の影を作ります。
　　この影のおかげで体の内部の骨などを写真に撮ることができます（図のさらに右側にフィルムが待ちかまえていて、通ってきたX線はフィルムを感光させる）。
　これについてはまたゆっくりと話しますが、波長が短い波ほど、直進性がよく、隙間をどんどん通っていくという性質があります。

　歯医者などでレントゲンを撮るとき、0.2～0.5秒かけてX線を照射するのはなぜですか？
　時間が短いと、フィルムがあまり感光しません。長い時間書けすぎると、今度は感光しすぎます。
　普通の写真を撮るときのシャッタースピードと同様にその加減をしているんだと思います。普通の写真のように何百分の１秒という短い時間で写真を撮ろうとすると、X線が強力になりすぎるんでしょう。

　単振り子の近似ですが、θ＝πとかになったら近似できないんではないですか？
　もちろん、できません。単振動に近似していいのは、θが0に近いところだけです。θ＝πと言ったら、振り子が上に上がっている状態ですから。

　振り子の映像は眠気を誘った（複数）
　まずいかなぁ、と思ったんですが(^_^;)。

　テキストのページ数が飛んでましたが。
　前回配ったのは１～５頁で、今回は７頁～16頁。「６頁」がありませんが、実は６頁は真っ白なので印刷してないのです。なくても問題ありません。

　ミスプリありました（複数）
　すいません、上で訂正した通りです。まだあるかもしれません。わかったら早めに御指摘願います。

　単振動のいい復習になりました（多数）
　あまり目新しいところはなかった（多数）
　まだ最初なので復習がてらじっくりやってます。だんだんスピードアップしていくと思いますが、ついてきてください。

　地球から空を見たら青く見えるのはわかった。逆に宇宙から地球を見て青く見えるのも同じ原理ですか？　それとも海があるからですか？
　両方あるでしょうが、海の青さの方が主原因ですね。

　三日月や半月が赤く見えることはないんですか？
　夕日と同じで、低い角度にいる時は長い大気の中を通ってくるので、赤く見える時もあります。

　先生よくしゃべってたいへんですね。
　仕事ですから。

　左の図の「半径方向の加速度」と表現されているところは、本当にそのような力が働いているのですか？
　いえ、「力」ではありません。「加速度」です。振り子の運動は等速じゃない円運動です。等速円運動の場合、加速度は中心向きでしたが、等速じゃない場合は中心向きの加速度と、半径と直角な方向の加速度と、両方でてきます。
　図に示したのは、加速度のうち半径方向を向いている成分です。
　実際にはTとmg cosθではTの方が大きく、それによって物体は円の内側に向ける力を受けて、結果として中心向きの加速度が生まれます。

　「線型」と「線形」は同じですか。
　同じです。人によって違うみたいです。

　散乱と回折の違いはなんですか？
　どっちも障害物によって光がちらばることなんですが、回折の方は障害物の後ろ側の部分をさしていいます。散乱の方は前も後も、全方向を指します。

　「線型」と重ね合わせの意味がやっとわかった。
　重要なことです。これからも使います。

　縦波でも横波でもない波って、海の波以外にありますか？
　あと有名どころでは、量子力学の波動関数はスカラー波なので縦波でも横波でもありません（そもそも振動の方向がない）。

　振り子は単振動だと信じてました。
　厳密に解こうとすると、ものすごくめんどくさい積分が必要なので、たいていの場合近似して解いてます。

　合唱とかでハモるのは、波の線型性から来ているのですか？
　音と音が重なっても、互いに影響し合わずに足し算されるのは線型性のおかげです。
　ハモるというのは、二つの音の振動数が一致したり、きれいな整数比になっている時、重ね合った音がきれいに聞こえるという現象です。

　慣性があるのはなぜですか？
　「質量があるものには慣性がある」というのは「宇宙の法則です」としかいいようがありません。大前提です。

　復元力があるのはなぜですか？
　これは、「ある」のではなく「復元力があるような現象だけを今考えている」のです。ない場合だってもちろんある。

　慣性があることと復元力があることは関係ありますか？
　いいえ。慣性があっても復元力がないことはいくらでもありますから、二つは独立です。

File translated from T_EX by T_THgold, version 3.63.
On 23 Oct 2006, 13:11.