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「根底からの物理」微分方程式と友達になる（その２） †前回は変数分離で解く話だったので、今回は単純に変数分離で解けない問題（といってもそんなに難しくはない）の演習をした。 一見変数分離できないが工夫するとなんとかなる場合 †微分方程式
\begin{equation}
{{\mathrm d} y\over {\mathrm d} x}={x-y\over x}
\end{equation}
はこのままでは変数分離できない。そこでまず
\begin{equation}
x{{\mathrm d} y\over {\mathrm d} x}+y=x
\end{equation}
とする。こうしておいて、「左辺が${{\mathrm d} (なんとか)\over {\mathrm d} x}$の形にならないかなぁ？」と考えてみる。
\begin{equation}
{{\mathrm d} \over {\mathrm d} x}\left(xy\right)= x{{\mathrm d} y\over {\mathrm d} x}+y
\end{equation}
となることがわかる。つまり解くべき方程式は、
\begin{equation}
{{\mathrm d} \over {\mathrm d} x}\left(xy\right)= x
\end{equation}
なのである。これは$xy=z$とおいて、$z$の微分方程式
\begin{equation}
{{\mathrm d} z\over {\mathrm d} x}=x
\end{equation}
だと思えばすぐに解けて、
\begin{equation}
z= {x^2\over 2}+C~~~すなわち~~ この方程式は、 \begin{equation} {{\mathrm d} y\over {\mathrm d} x}=1-{y\over x} \end{equation} としてから、${y\over x}=w$として$w$の方程式として解くという方法もある*1。 同次形についての説明はちょっと手薄だったかも。 '問1'：${y\over x}=w$と置き直すことで、$ {{\mathrm d} y\over {\mathrm d} x}=1-{y\over x}$を解け。 '問2'： 以下の微分方程式を解け。 (1) ${{\mathrm d} y\over {\mathrm d} x}={x^3-2y\over x}$ (2) $(x+y){\mathrm d} x+(x-y){\mathrm d} y=0$ (3) $x{{\mathrm d} y\over {\mathrm d} x}+3y={\sin x\over x^2}$ 全微分 †順番としては、全微分を先にやった方がよかったかもしれない。 方程式が「全微分」の形をしている時は、比較的簡単に解を求めることができる。たとえば前に図で考えた${{\mathrm d} y\over {\mathrm d} x}=-{x\over y}$は（これは変数分離でも解けるのだが）、 \begin{equation} x {\mathrm d} x + y {\mathrm d} y=0 \end{equation} と変形できる。この式は \begin{equation} {\mathrm d} \left({1\over2}x^2+{1\over2}y^2\right)=0 \end{equation} と同じ式である。逆にたどって確かめるのはたやすい。よってこの微分方程式の解は \begin{equation} {1\over2}x^2+{1\over2}y^2=C(定数) \end{equation} であることがすぐわかる。 つまり、ある式が、 \begin{equation} {\mathrm d}(なにか) \end{equation} の形になっている時、これを「全微分になっている」と呼ぶわけである。${\mathrm d} (なにか)=0$という式は$(なにか)=(定数)$という解を持つ。 '問1'：以下の微分方程式を、全微分の形に変形することで解け。 (1)$2xy{\mathrm d} x+x^2{\mathrm d} y=0$ (2)$y\cos x {\mathrm d} x+ \sin x {\mathrm d} y=0$ (3)$-{y\over x^2}{\mathrm d} x+{1\over x}{\mathrm d} y=0$ (4)$(9x^2+y-1)-(4y-x){{\mathrm d} y\over {\mathrm d} x}=0$ 以下、積分可能条件などの話はできなかった。 $x{\mathrm d} x+y{\mathrm d} y$という式を見て全微分であると判定するのは比較的たやすいが、もっとややこしい形の方程式が出てきた時、これが全微分で書けるのかどうかを判定する必要がある。 そのために「積分可能条件」と呼ばれる条件を使う。たとえば方程式が \begin{equation} P(x,y){\mathrm d} x + Q(x,y){\mathrm d} y=0 \end{equation} の形になったとする。これが \begin{equation} {\mathrm d} f(x,y)=0~~ すなわち ~~ {\partial f\over \partial x}{\mathrm d} x +{\partial f\over \partial y}{\mathrm d} y=0 \end{equation} と書き直せるためには、 \begin{equation} {\partial P\over\partial y}={\partial Q\over \partial x} \end{equation} ことが必要十分条件である。 ちょっと長い説明省略 全微分でなかった時も、「何かの関数をかけることで全微分の形にする」ことが可能である場合がある。すなわち、
\begin{equation}
P(x,y){\mathrm d} x +Q(x,y){\mathrm d} y =0 ~~\to~ ${\mathrm d} (x^my^n)=m x^{m-1}y^n {\mathrm d} x+ nx^m y^{n-1}{\mathrm d} x$であるということを使うと積分因子を見つけやすい。たとえば、$3y{\mathrm d} x+x{\mathrm d} y$という式があったら、$y{\mathrm d} x$が3倍効いていることから、$x^3y$という形の微分ではないか、と推測される。${\mathrm d} (x^3y)=3x^2y{\mathrm d} x+x^3 {\mathrm d} y$であるから、$x^2$をかけることで全微分に直すことができる。 プリントでは、上の式が間違っていました。${\mathrm d} (x^my^n)=m x^{m-1}y^n {\mathrm d} x+ nx^m y^{n-1}{\mathrm d} x$の最後のyのべきがm-1になってますが、↑が正しいので訂正しておいてください。また、最後の「$x^2$をかけることで」も、プリントでは$x^3$になってました。 ほんとうは物理への応用まで行きたかったのだが、ここで時間切れ |
